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岩土工程中极限分析数值模拟的研究进展
2011-11-04
评述极限分析数值模拟在岩土工程中的发展和应用情况。介绍应用有限元和极限原理相结合的刚塑性有限元法及 常用的线性规划法和非线性规划法等优化方法,并与条分法及弹塑性有限元进行比较。
第 2 54 卷 第 3 期 0 0 2 年 8 月 NONFERROUS METALS    A uVguols1t 5 4 2, N0 o0132 有 色 金 属   岩 土 工 程 中 极 限 分 析 数 值 模 拟 的 研 究 进 展 杨 小 礼 ,李 亮 ,刘 宝 琛 ( 中 南 大 学 铁 道 校 区 土 木 建 筑 学 院 ,长 沙 410075)   摘 要 :评 述 极 限 分 析 数 值 模 拟 在 岩 土 工 程 中 的 发 展 和 应 用 情 况 。 介 绍 应 用 有 限 元 和 极 限 原 理 相 结 合 的 刚 塑 性 有 限 元 法 及 常 用 的 线 性 规 划 法 和 非 线 性 规 划 法 等 优 化 方 法 ,并 与 条 分 法 及 弹 塑 性 有 限 元 进 行 比 较 。 关 键 词 :上 限 定 理 ;速 度 间 断 线 ;非 线 性 规 划 中 图 分 类 号 :TD313 ; TB115 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :1001 - 0211 (2002) 02 - 0107 - 06 [ 2 - 4 ] 。   对 于 岩 土 承 载 力 或 稳 定 性 问 题 ,传 统 分 析 方 法 形 速 度 场 相 对 应 的 荷 载 中 ,极 限 荷 载 为 最 小 分 3 ε ijd V + L C 分Δ V t 分 dL 主 要 有 两 类 。 一 类 是 弹 塑 性 法 ,即 根 据 应 力 应 变 关 系 、具 体 问 题 的 初 始 与 边 界 条 件 、荷 载 历 史 ,逐 步 求 解 问 题 的 解 。 由 于 微 分 方 程 的 复 杂 性 、岩 土 本 构 关 系 的 多 样 性 、弹 塑 性 区 分 界 线 的 不 确 定 性 等 因 素 导 致 弹 塑 性 法 计 算 过 程 相 当 复 杂 。 另 一 类 是 条 分 法 , 它 是 将 结 构 物 分 成 若 干 条 块 ,根 据 力 的 平 衡 理 论 求 解 。 虽 然 条 分 法 简 单 易 懂 ,在 工 程 中 广 泛 应 用 ,但 由 于 各 条 块 之 间 的 相 互 作 用 力 复 杂 ,从 而 影 响 计 算 结 果 的 准 确 性 ,另 外 ,平 衡 微 分 方 程 、流 动 法 则 也 不 能 A Ti uidA + Fi uid V ≤ σ ij ∫ ∫ Ω ∫ Ω ∫ ( 1) 分 3 σ 式 中 : ij - 由 ε 按 塑 性 变 形 法 则 求 出 的 应 力 ; T , i j i Fi - 分 别 为 作 用 物 体 Ω 上 的 面 力 和 体 力 ;Δ V t - 速 分 度 间 断 线 L 两 侧 切 向 速 度 变 化 量 ; ui ,ε ij - 分 别 为 速 度 场 中 的 速 度 和 应 变 率 ;τ ,σ n - 分 别 为 速 度 间 断 线 L 上 的 剪 应 力 和 正 应 力 ; C ,θ - 抗 剪 强 度 指 标 。 由 虚 功 率 原 理 可 推 导 出 下 限 定 理 为 :当 物 体 产 WWW.KY114 .CN 在 岩 土 中 的 每 一 点 得 到 满 足 。 生 塑 性 变 形 达 到 极 限 状 态 时 ,在 给 定 速 度 边 界 上 ,真 对 许 多 岩 土 结 构 物 来 讲 ,有 时 并 不 需 要 知 道 应 力 和 应 变 随 外 荷 载 如 何 变 化 ,只 需 要 求 出 最 终 达 到 塑 性 流 动 状 态 时 所 对 应 的 破 坏 荷 载 或 稳 定 性 程 度 。 实 表 面 力 在 给 定 速 度 上 的 功 率 恒 大 于 或 等 于 其 他 任 意 静 力 容 许 应 力 场 所 对 应 的 表 面 力 在 同 一 给 定 速 度 上 的 功 率 。 在 所 有 与 静 力 容 许 的 应 力 场 相 对 的 荷 载 [2 - 4 ] [ 1 ] 在 这 种 思 想 的 指 导 下 ,Drucker 和 Prager 把 静 力 场 中 ,极 限 荷 载 最 大 。 即 : 分 和 速 度 场 结 合 起 来 并 提 出 极 值 理 论 ,建 立 岩 土 结 构 0 Fi ui d V + A Tiꢀui d A ≥ σ ε ij d V + L C 分Δ V t 分 dL ij ∫ ∫ ∫ Ω ∫ [ 2 - 3 ] 为 岩 土 结 构 物 物 的 极 限 分 析 方 法 ,Chen 和 Liu ( 2) 的 极 限 分 析 理 论 奠 定 基 础 。 如 今 极 限 分 析 方 法 在 岩 土 力 学 中 得 到 广 泛 应 用 。 式 中 :σ 0ij - 满 足 静 力 平 衡 条 件 和 边 界 条 件 的 静 力 容 许 的 应 力 场 ; ꢀu - 已 知 速 度 。 极 限 分 析 法 是 将 岩 土 看 成 理 想 刚 塑 性 体 ,在 虚 功 率 原 理 基 础 上 建 立 起 来 的 分 析 方 法 。 它 包 括 上 限 定 理 和 下 限 定 理 。 通 过 上 下 限 定 理 的 分 析 ,可 以 近 似 得 到 极 限 荷 载 的 大 小 或 稳 定 性 程 度 ,而 且 还 可 以 知 道 误 差 的 范 围 。 虚 功 率 原 理 表 明 :对 于 任 意 一 组 静 力 容 许 的 应 力 场 和 任 意 一 组 机 动 容 许 的 速 度 场 , 外 力 的 虚 功 率 等 于 物 体 内 能 消 散 功 率 。 由 虚 功 率 原 理 可 推 导 出 上 限 定 理 :在 所 有 的 机 动 容 许 的 塑 性 变 由 下 限 定 理 和 静 力 容 许 应 力 场 ,可 以 确 定 简 单 问 题 的 下 限 解 ;由 上 限 定 理 和 机 动 容 许 速 度 场 可 以 确 定 简 单 问 题 的 上 限 解 ,如 条 形 基 础 的 承 载 力 ,二 维 边 坡 的 稳 定 性 ,竖 直 边 坡 的 临 界 高 度 ,圆 形 基 础 的 承 [ 5 ] [6 ] 载 力 Soubra , 两 层 地 基 的 破 坏 模 式 。 近 年 来 , 7 - 10 ] 建 立 一 种 新 的 速 度 场 ,利 用 计 算 机 手 [ 段 ,研 究 岩 土 力 学 中 的 一 些 基 本 问 题 ,得 出 一 些 有 益 的 半 解 析 解 ,使 解 析 解 的 研 究 向 前 迈 进 一 步 。 基 于 [ 11 - 13 ] 极 限 分 析 的 变 分 原 理 ,钟 万 勰 提 出 “ 新 的 上 、 收 稿 日 期 :2001 - 10 - 08 作 者 简 介 :杨 小 礼 (1971 - ) ,男 ,安 徽 安 庆 人 ,讲 师 ,博 士 下 限 定 理 ” ,并 研 究 权 因 子 的 计 算 方 法 ,对 “ 新 的 上 、 [ 14 ] 用 线 性 规 划 方 法 求 解 。 刘 宝 琛 (1932 - ) ,男 ,辽 宁 开 源 人 ,教 授 , 下 限 定 理 ” ,程 耿 东 上 述 是 岩 土 工 程 中 一 些 简 单 问 题 的 极 限 分 析 。 中 国 工 程 院 院 士 1 08 有 色 金 属 第 54 卷 分 分 分 实 际 上 ,许 多 岩 土 问 题 具 有 复 杂 性 ,如 岩 土 边 界 形 状 不 规 则 、边 界 受 力 复 杂 、岩 土 层 状 分 布 等 ,此 时 人 工 建 立 的 应 力 场 或 速 度 场 很 难 满 足 求 解 问 题 的 需 要 。 于 是 另 辟 蹊 径 ,即 在 极 限 分 析 理 论 基 础 上 ,应 用 有 限 单 元 法 求 解 。 件 ,即 ε 1 +ε 2 +ε 3 = 0 。 这 就 要 求 在 单 元 划 分 时 ,要 合 理 布 置 各 单 元 形 状 。 Jiang 与 Sloan 等 学 者 采 用 四 个 单 元 组 成 矩 形 ,公 共 单 元 结 点 位 于 矩 形 对 角 线 的 交 点 上 ,这 样 满 足 不 可 压 缩 条 件 。 ( 4) 单 元 在 破 坏 前 无 任 何 变 形 产 生 。 在 物 体 Ω 上 ,若 存 在 一 组 速 度 场 ui , 满 足 以 下 条 件 ,则 称 ui 为 机 动 容 许 的 速 度 场 。在 体 积 Ω 内 满 足 几 何 方 程 ,即 : 1 上 限 定 理 有 限 元 应 用 有 限 元 和 极 限 原 理 相 结 合 的 刚 塑 性 有 限 元 法 为 求 解 岩 土 极 限 荷 载 以 及 边 坡 稳 定 性 问 题 提 供 了 新 的 方 法 。 它 克 服 了 人 工 建 立 静 力 容 许 应 力 场 和 机 动 容 许 速 度 场 的 困 难 ,最 优 的 上 、下 限 解 分 别 通 过 优 化 方 法 得 到 。 这 种 上 限 定 理 有 限 元 与 一 般 以 结 点 位 移 为 未 知 量 的 常 规 有 限 元 的 主 要 区 别 有 4 点 。 分 ε ij 1 2 = ( uij + uji) (3) 在 边 界 上 满 足 速 度 边 界 条 件 ,并 在 速 度 边 界 上 使 外 力 做 正 功 。 由 上 定 义 可 知 ,物 体 于 极 限 状 态 时 , 真 实 的 速 度 场 必 定 是 机 动 容 许 的 速 度 场 ;但 机 动 容 许 的 速 度 场 不 一 定 是 极 限 状 态 真 实 的 速 度 场 。 应 用 上 限 定 理 有 限 元 法 求 解 土 工 问 题 时 ,速 度 场 必 须 满 足 相 关 联 准 则 、边 界 条 件 。 在 岩 土 结 构 物 计 算 时 常 用 线 性 Mohr2Coulomb 屈 服 函 数 F ,其 表 达 式 为 : ( 1) 上 限 定 理 有 限 元 以 结 点 速 度 为 未 知 量 。 [15 - 23 ] Jiang 等 学 者 采 用 如 图 1 所 示 的 结 点 速 度 ,即 [24 - 30 ] 同 一 位 置 上 结 点 速 度 相 同 ;Sloan 等 学 者 采 用 如 图 2 所 示 的 结 点 速 度 , 即 同 一 位 置 上 由 于 间 断 线 存 在 结 点 速 度 不 连 续 。例 如 图 2 中 的 ① 结 点 速 度 F = (σ x - σ y) 2 + (2τ xy) 2 ( u1 ,ν 1) 与 ② 结 点 速 度 ( u2 ,ν 2) 不 相 等 , ③ 和 ④ 结 2 - [2 Ccosθ - (σ x +σ y) sinθ ] (4) 点 也 是 如 此 。 近 年 来 ,这 两 种 情 况 都 已 经 成 功 用 于 实 践 ,但 哪 一 种 方 法 更 有 效 ,还 有 待 进 一 步 研 究 。 分 如 果 由 ε ij 按 塑 性 变 形 法 则 求 出 的 应 力 σ i3j 满 足 3 表 达 式 F(σ ij )〈 0 , 那 么 理 想 刚 塑 体 处 于 稳 定 状 态 ; WWW.KY114 .CN 3 如 果 满 足 F(σ ij ) = 0 ,那 么 理 想 刚 塑 性 体 处 于 极 限 状 态 ,即 处 于 开 始 产 生 无 限 制 塑 性 流 动 状 态 。在 物 体 3 Ω 上 , 应 力 σ 在 相 应 的 塑 性 应 变 率 上 所 做 的 功 率 ij 为 : 分 分 σ Ω i3j 分ε ij dΩ (5) W 1 = ∫ 图 1 Jiang 等 采 用 的 结 点 速 度 假 设 该 物 体 受 到 外 荷 载 作 用 ,其 中 恒 荷 载 为 m0 ( f 0 , Fig. 1 Velocity of nodes adopted by Jiang T0) ,活 荷 载 m1 ( f 1 , T1) , m0 , m1 是 比 例 系 数 。在 应 力 空 间 中 f 0 、f 1 是 体 力 , T0 、 T1 是 面 力 ,对 2 D 问 题 它 们 是 ( x , y) 的 函 数 ;对 3 D 问 题 是 ( x , y , z) 的 函 数 。恒 荷 载 与 活 荷 载 在 极 限 分 析 时 所 消 散 的 功 率 为 : 分 W 2 = m0 f 0 uij dΩ + m1 f 1 uij dΩ ∫ Ω ∫ Ω + m0 S T0 uij d S + m1 1 uij d S ∫ S T (6) ∫ 图 2 Sloan 等 采 用 的 结 点 速 度 物 体 内 部 速 度 间 断 面 (二 维 问 题 就 转 化 为 速 度 间 断 Fig. 2 Velocity of nodes adopted by Sloan 线 ) 所 消 散 的 功 率 为 : 分 ( 2) 速 度 间 断 线 上 ,对 于 Mohr - Coulomb 材 料 W 3 = A C 分 Δ V t d A (7) (8) 速 度 间 断 线 上 的 切 向 和 法 向 速 度 都 不 连 续 ; 对 于 Tresca 材 料 只 有 切 向 速 度 不 连 续 。 ∫   根 据 上 限 定 理 ,建 立 能 量 消 散 率 泛 函 数 为 : ( 3) 对 于 Tresca 材 料 ,单 元 要 满 足 不 可 压 缩 条 分 分 分 J ( uij) = W 1 - W 2 - W 3 第 3 期 杨 小 礼 等 :岩 土 工 程 中 极 限 分 析 数 值 模 拟 的 研 究 进 展 109 对 于 任 何 一 个 机 动 容 许 速 度 场 uij , 若 J ( uij) 小 于 零 ,那 么 该 物 体 将 产 生 刚 塑 性 破 坏 状 态 。若 存 在 一 机 动 容 许 速 度 场 u0 , 使 得 J ( u0) 取 得 最 小 值 , 并 且 最 小 值 为 零 ,那 么 相 应 于 结 构 上 的 荷 载 就 是 极 限 荷 载 , 其 大 小 为 m0 ( f 0 , T0) + m1 ( f 1 , T1) 。这 样 上 限 定 理 优 化 的 目 标 函 数 是 : 问 题 的 可 行 域 是 凸 多 面 体 ,基 本 可 行 解 对 应 着 它 的 顶 点 ,而 可 行 域 的 顶 点 的 个 数 一 般 随 着 问 题 维 数 的 变 大 而 成 指 数 函 数 地 增 加 。 因 此 选 择 合 适 的 优 化 方 [ 31 ] 法 尤 为 重 要 。 沈 卫 平 少 迭 代 次 数 提 高 优 化 效 率 。 张 丕 辛 提 出 改 进 的 迭 代 方 法 ,以 减 [ 32 ] 提 出 无 搜 索 数 学 规 划 算 法 ,这 个 算 法 采 用 逐 步 识 别 刚 性 区 和 塑 性 区 ,对 刚 性 区 和 塑 性 区 进 行 不 同 处 理 ,以 不 断 修 正 目 标 函 数 ,并 证 实 了 解 的 可 行 性 和 稳 定 性 。 Minimize m0 ( f 0 , T0) + m1 ( f 1 , T1) (9) 对 天 然 边 坡 稳 定 性 问 题 , 活 荷 载 为 零 ( m1 = ) ,土 体 自 重 f 0 可 能 导 致 边 坡 失 稳 , 因 此 极 限 分 析 0 的 目 的 是 求 得 边 坡 处 于 极 限 状 态 时 的 最 小 值 m0 ;对 基 础 承 载 力 问 题 ,恒 荷 载 是 不 变 的 m0 = 1 , 活 荷 载 是 变 化 的 ,随 着 外 荷 载 的 增 加 , 逐 步 达 到 极 限 状 态 , 因 此 极 限 分 析 的 目 的 是 求 得 基 础 处 于 极 限 状 态 时 的 最 小 值 m1 。 图 3 屈 服 条 件 线 性 化 2 优 化 方 法 Fig. 3Linearization of yield criterion 式 (9) 为 极 限 荷 载 的 目 标 函 数 ,它 是 优 化 理 论 中 2 12   非 线 性 规 划 法 的 规 划 问 题 。 常 用 的 优 化 方 法 主 要 有 线 性 规 划 法 和 非 线 性 规 划 法 。 [17 - 20 ] Jiang 是 最 早 将 非 线 性 规 划 引 入 上 限 定 理 有 限 元 的 学 者 之 一 ,并 成 功 地 解 决 二 维 边 坡 稳 定 性 问 题 以 及 基 础 承 载 力 问 题 。 主 要 是 引 进 拉 格 朗 日 增 项 法 ,使 泛 函 数 的 极 值 最 小 化 。 对 于 泛 函 式 (8) 引 进 2 11   线 性 规 划 法 [15 ] Lysmer 首 先 用 线 性 规 划 方 法 求 解 岩 土 结 构 物 的 承 载 力 以 及 边 坡 稳 定 性 的 安 全 系 数 。 在 此 基 础 分 变 量 w ij ,使 得 ε ij - w ij = 0 ,则 式 (8) 变 为 : [ 24 - 28 ] WWW.KY114 .CN 采 用 最 陡 边 有 效 集 法 加 快 计 算 速 度 , 上 ,Sloan 分 分 W 3 (11) [ 28 ] [29 ] [30 ] 3 σ 分 w dΩ - W 2 ij J ( u , w ) = ij - Ukritchon 一 步 推 广 使 用 。 用 线 性 规 划 求 解 时 ,需 要 将 屈 服 函 数 线 性 化 。 式 (4) 是 以 X = σ x - σ 为 横 轴 ,以 Y = xy 为 纵 轴 ,以 R = 2 Ccosθ - (σ x +σ y) sinθ (为 半 径 , Yu 和 Kim 等 学 者 将 此 方 法 进 ∫ Ω 与 (11) 式 相 对 应 的 拉 格 朗 日 泛 函 数 为 : y 分 r λꢀr{ ( u , w ) ,λ } = J ( u , w ) + (ε ij - w ij) (12) 2 τ 2∫Ω w ij) dΩ 分 (ε ij 分 的 圆 ,如 图 3 所 示 。由 于 上 限 定 理 有 限 元 的 基 本 未 知 量 是 线 性 速 度 分 量 ,所 以 屈 服 准 则 需 要 线 性 化 ,为 此 用 一 个 外 切 正 多 边 形 逼 近 上 述 圆 域 。设 正 多 边 形 的 边 数 为 p ,在 笛 卡 尔 坐 标 系 中 ,第 k 边 屈 服 条 件 的 线 性 表 达 式 为 : - w ij) dΩ + λ ij (ε ij - ∫ Ω 分 分 式 中 :ε ij , w ij - ε 和 w 的 分 量 ;λ ij - 相 应 的 拉 格 朗 日 系 数 ; r - 一 正 数 。如 果 r = 0 ,上 式 则 为 通 常 的 拉 格 朗 日 函 数 形 式 。在 拉 格 朗 日 函 数 中 引 入 增 项 可 以 提 高 求 极 值 过 程 的 收 敛 性 与 稳 定 性 。求 泛 函 λꢀr 的 极 Fk = A σ k x + Bσ k y + Cτ k xy - 2 Ccosθ = 0 (10) 式 中 : A k = cosα k + sinθ ; Bk = - cosα k + sinθ ; Ck = 值 也 就 是 求 一 个 解 λꢀr{ ( u0 , w 0) ,λ 0} ,使 λꢀ mλaxλꢀr{ ( u0 , w 0) ,λ } = λꢀr{ ( u0 , w 0) ,λ 0} ( u , w ) ,λ 0} (13) 取 极 值 : r 2 sinα k ;α k = 2 kπ / p ; k = 1 ,2 , ⋯ , p 。 在 用 上 限 定 理 有 限 元 求 解 岩 土 问 题 时 : (1) 每 个 = min ꢀr{ λ ( u , w) 单 元 和 速 度 间 断 线 要 服 从 相 关 联 流 动 法 则 ; (2) 岩 土 屈 服 函 数 F 与 塑 性 势 函 数 相 同 ; (3) 速 度 边 界 上 要 满 足 边 界 条 件 。 根 据 这 3 个 条 件 建 立 一 系 列 的 约 束 方 程 ,结 合 式 (9) 用 线 性 规 划 方 法 求 解 最 小 值 。 在 线 性 规 划 中 ,对 于 少 量 的 有 限 单 元 和 速 度 间 分 可 以 证 明 ε 0 - w 0 = 0 ,并 且 u0 也 使 泛 函 J ( uij) 取 最 小 值 。 值 得 一 提 的 是 , 上 限 定 理 有 限 元 是 建 立 在 相 关 联 流 动 法 则 的 基 础 上 。实 际 上 砂 土 在 受 剪 时 发 生 膨 胀 现 象 ,而 不 服 从 相 关 联 流 动 法 则 。基 于 这 一 事 实 , [ 24 - 27 ] 断 线 ,采 用 最 陡 边 有 效 集 法 是 求 解 该 规 划 问 [ 6 ,33 ] C 3 ,θ 3 代 替 砂 土 的 抗 剪 强 近 年 来 部 分 学 者 用 题 行 之 有 效 的 方 法 ,但 随 着 计 算 范 围 的 扩 大 ,优 化 变 量 从 几 百 个 增 加 到 数 万 个 ;从 几 何 观 点 看 ,线 性 规 划 度 指 标 C ,θ ,即 1 10 有 色 金 属 第 54 卷 cosψ cosθ - sinψ sinθ tanθ 3 = tanθ 分 1 3 与 条 分 法 及 弹 塑 性 有 限 元 的 比 较 ( 14) cosψ cosθ = C 分 1 - sinψ sinθ C 3 在 岩 土 边 坡 稳 定 性 分 析 中 ,条 分 法 是 目 前 广 泛 应 用 的 方 法 之 一 。 条 分 法 首 先 将 边 坡 分 为 若 干 条 块 ,然 后 假 定 各 条 块 之 间 相 互 作 用 力 的 大 小 和 方 向 , 最 后 根 据 力 的 平 衡 原 理 求 解 安 全 系 数 。 在 边 坡 稳 定 性 分 析 时 ,安 全 系 数 定 义 为 : 其 中 ψ 为 砂 土 的 剪 切 膨 胀 角 。从 而 极 限 分 析 也 能 在 [ 34 - 36 ] 砂 土 中 应 用 。但 是 ,众 多 的 学 者 通 过 有 限 元 计 算 得 出 :对 岩 土 承 载 力 问 题 ,非 关 联 假 设 与 关 联 假 设 对 承 载 力 的 影 响 是 很 小 的 ,可 以 忽 略 。这 一 结 论 与 参 考 文 献 [6 ,33 ] 不 一 致 ,有 待 进 一 步 探 讨 。 tanψm = C C τ f m =τ m FS = tanψ m ( 15) 在 非 线 性 破 坏 准 则 下 ,岩 土 结 构 物 承 载 力 或 稳 m m 式 中 :ψ , C ,τ - 破 坏 时 沿 整 个 滑 动 面 实 际 产 生 的 抗 剪 强 度 指 标 ;ψ , C ,τ f - 边 坡 土 体 的 抗 剪 强 度 指 标 。这 个 定 义 不 仅 使 安 全 系 数 的 物 理 意 义 更 加 明 确 , 定 性 的 上 限 分 析 问 题 一 直 是 岩 土 工 程 界 的 难 点 之 [ 37 ] 一 。 较 早 期 学 者 R1Baker & S1 Frydman 运 用 非 线 性 屈 服 准 则 ,在 变 分 原 理 的 基 础 上 ,对 边 坡 附 近 的 条 形 基 础 进 行 上 限 分 析 。 后 来 , X1L1Zhang & 还 为 以 后 非 圆 弧 滑 动 分 析 及 条 块 分 界 面 上 各 种 力 的 [39 ] 考 虑 方 式 提 供 了 有 利 条 件 。 1955 年 Bishop 提 出 [40 ] [ 38 ] W1F1Chen 也 在 变 分 原 理 的 基 础 上 ,采 用“ 逆 算 法 inverse method) ”研 究 边 坡 在 非 线 性 破 坏 准 则 下 的 条 分 法 ,后 来 很 多 的 学 者 不 断 的 改 进 ,如 ,Janbu , ( [41 ] [42 ] [43 ] Morgenstern 和 Price , Spencer 等 。 Nash 对 滑 动 面 形 状 ,并 给 出 边 坡 在 各 种 坡 角 下 的 稳 定 性 系 数 。 在 众 多 的 上 限 分 析 文 献 中 ,大 多 数 学 者 都 采 用 线 性 屈 服 准 则 ,这 主 要 原 因 是 : (1) 非 线 性 屈 服 准 则 上 述 方 法 进 行 归 纳 总 结 后 指 出 :在 具 有 n 个 条 块 的 边 坡 问 题 中 ,一 般 来 说 具 有 5 n - 2 个 未 知 量 ,而 平 衡 方 程 只 有 3 n 个 ,这 样 需 要 做 出 2 n - 2 个 互 不 相 关 的 假 设 以 满 足 平 衡 理 论 的 要 求 ,不 同 的 假 设 形 成 不 同 的 方 法 。 但 在 使 用 条 分 法 时 有 以 下 几 点 值 得 注 意 : (1) 条 分 法 并 不 能 证 明 滑 动 面 以 外 的 土 体 是 否 违 在 以 X = σ x - σ 为 横 轴 ,以 Y = 2τ xy 为 纵 轴 的 坐 y 标 体 系 中 ,不 能 表 达 成 圆 域 ,无 法 采 用 外 切 正 多 边 形 手 段 ; (2) 非 线 性 屈 服 准 则 下 的 上 限 目 标 函 数 是 非 光 滑 函 数 ,如 果 处 理 计 算 不 当 ,就 不 能 得 到 最 优 的 WWW.K上 限 Y114 .CN 反 Mohr - Coulomb 屈 服 条 件 或 Tresca 屈 服 条 件 ,根 [17 - 19 ] 解 。 正 如 Jiang 在 参 考 文 献 [ 19 ]所 指 出 的 ,在 边 坡 据 Jiang 的 二 维 边 坡 极 限 分 析 有 限 元 可 以 看 稳 定 性 分 析 中 ,无 论 采 用 上 限 分 析 法 还 是 平 衡 法 (主 出 ,在 滑 动 面 附 近 还 存 在 大 量 的 单 元 处 于 塑 性 破 坏 要 指 条 分 法 ) ,如 何 应 用 非 线 性 破 坏 准 则 问 题 还 有 待 状 态 ; (2) 当 所 求 的 边 坡 处 于 多 相 不 均 匀 状 态 时 ,使 于 进 一 步 探 讨 。 用 条 分 法 求 解 安 全 系 数 就 比 较 困 难 ; (3) 条 分 法 一 般 只 用 于 二 维 边 坡 稳 定 性 分 析 ,很 少 用 于 三 维 边 坡 稳 总 之 ,上 限 定 理 刚 塑 性 有 限 元 是 一 种 崭 新 的 数 值 方 法 ,有 严 格 的 理 论 基 础 ,解 决 了 人 工 建 立 速 度 场 的 难 题 。 通 过 前 人 的 研 究 成 果 可 看 出 ,应 用 该 方 法 所 得 到 的 数 值 解 是 一 种 精 确 的 解 ,与 经 典 力 学 的 理 论 解 是 一 致 的 ,说 明 上 限 定 理 刚 塑 性 有 限 元 法 的 正 确 性 ,其 具 有 重 要 的 理 论 意 义 和 使 用 价 值 。 从 目 前 国 内 外 的 文 献 资 料 看 ,在 极 限 分 析 中 线 性 规 划 使 用 较 多 ,非 线 性 规 划 使 用 较 少 ,但 对 某 一 计 算 区 域 ,如 果 线 性 规 划 与 非 线 性 规 划 的 单 元 数 相 同 ,那 么 优 化 时 非 线 性 规 划 所 含 变 量 远 小 于 线 性 规 划 。 随 着 计 算 范 围 的 扩 大 ,问 题 考 虑 的 因 素 较 多 ,非 线 性 规 划 的 优 越 性 就 日 益 突 出 。 定 性 分 析 ,而 实 际 边 坡 随 地 形 变 化 多 属 于 三 维 状 态 ; (4) 破 坏 时 的 屈 服 函 数 多 采 用 Mohr - Coulomb 或 Tresca 函 数 ,它 是 一 种 线 性 函 数 ,实 际 上 大 量 的 实 验 [ 37 - 38 ,44 ] 表 明 屈 服 函 数 是 一 种 非 线 性 函 数 ,在 这 种 情 况 下 条 分 法 就 不 在 适 用 。 从 以 上 几 点 可 以 看 出 ,虽 然 条 分 法 是 工 程 实 践 中 一 种 成 功 的 方 法 , 但 有 一 定 的 应 用 范 围 , 正 如 [ 43 ] Nash 所 述 ,由 于 各 条 块 之 间 的 相 互 作 用 力 复 杂 , 现 有 的 各 种 计 算 方 法 所 得 的 安 全 系 数 都 不 是 真 实 的 [ 19 ] [29 ] 安 全 系 数 。 对 于 边 坡 稳 定 性 问 题 ,Jiang 和 Yu 将 条 分 法 与 上 限 有 限 元 法 相 比 较 后 发 现 ,条 分 法 求 得 的 安 全 系 数 有 时 不 是 真 实 的 安 全 系 数 ,它 或 高 于 或 低 于 上 限 定 理 有 限 元 法 求 得 的 安 全 系 数 。 同 理 ,下 限 定 理 有 限 元 的 基 本 未 知 量 是 线 性 应 力 场 ,为 此 用 一 个 内 接 正 多 边 形 逼 近 上 述 圆 域 ,在 应 力 间 断 线 、应 力 边 界 上 建 立 一 系 列 的 约 束 方 程 ,最 后 用 优 化 方 法 寻 求 目 标 函 数 的 最 大 值 。 详 细 过 程 可 阅 读 文 献 [18 ,27 ] 。 在 边 坡 稳 定 性 分 析 和 基 础 承 载 力 计 算 时 ,可 采 用 弹 塑 性 有 限 元 法 ,该 方 法 在 理 论 方 面 已 经 成 熟 。 它 既 考 虑 土 体 的 材 料 性 质 非 线 性 ,又 考 虑 土 体 的 几 第 3 期 杨 小 礼 等 :岩 土 工 程 中 极 限 分 析 数 值 模 拟 的 研 究 进 展 111 何 非 线 性 ;既 考 虑 三 维 边 坡 几 何 表 面 的 多 样 性 、受 力 条 件 的 复 杂 性 ,又 考 虑 土 体 空 间 的 不 均 匀 性 、各 相 异 性 ;既 考 虑 变 形 随 时 间 变 化 的 固 结 与 蠕 变 模 型 ,又 考 虑 应 力 随 时 间 变 化 的 渗 流 模 型 ;既 考 虑 静 力 问 题 ,又 考 虑 动 力 问 题 。 但 是 ,由 于 计 算 过 程 复 杂 ,模 型 中 各 计 算 参 数 不 易 精 确 量 取 ,计 算 结 果 与 实 际 情 况 之 间 存 在 一 定 的 差 距 。 上 限 定 理 刚 塑 性 有 限 元 法 能 求 得 精 确 的 数 值 解 (与 经 典 理 论 解 相 比 ) ,而 且 计 算 时 所 需 的 参 数 很 少 ,但 目 前 主 要 局 限 于 二 维 静 力 问 题 (或 者 拟 静 力 ) ,对 于 二 维 震 动 问 题 、三 维 问 题 还 需 深 入 研 究 。 参 考 文 献 [ [ [ [ [ [ 1 ] Drucker D C , Prager W , Greenberg H J1 Extended limit design theorems for continuous media[J ]1 Quart Appl , 1951 , 9 : 381 2 ] Chen W F1 Limit analysis and soil plasticity[ M]1 Elsevir Science , Amsterdam , 1975 3 ] Chen W F , Liu X L1 Limit analysis in soil mechanics[ M]1 Elsevir Science , Amsterdam , 1990 4 ] 龚 晓 南 1 土 塑 性 力 学 [ M]1 杭 州 :浙 江 大 学 出 版 社 ,1990 5 ] 李 亮 ,杨 小 礼 1 圆 形 浅 基 础 地 基 承 载 力 极 限 分 析 的 上 限 解 析 解 [J ]1 铁 道 学 报 , 2001(1) : 94 6 ] Michalowski R L , Shi L1 Bearing capacity of footing over two - 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