弹塑性非线性渗流耦合问题的一个解析解-矿业114网 
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弹塑性非线性渗流耦合问题的一个解析解
2011-07-25
在非线性渗流耦合的条件下,研究弹塑性多孔地层中单井抽放问题。建立了问题的基本 方程和力学模型;推出了应力和孔隙压力的解析解;得到了确定塑性区半径、弹塑性交界面上的径向应 力和孔隙压力的方程;导出了屈服的极限载荷;并进行了实例计算。
2 000 年 10 月 重 庆 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) Vol. 23 第 23 卷 增 刊 Journal of Chongqing University(Natural Science Edition) Oct. 2000   文 章 编 号 :1000 - 582x(2000) S0 - 0184 - 04 Ξ 弹 塑 性 非 线 性 渗 流 耦 合 问 题 的 一 个 解 析 解 1 2 3 徐 曾 和 , 徐 小 荷 , 路 保 平 ( 1. 东 北 大 学 岩 石 破 裂 与 失 稳 研 究 中 心 ,沈 阳 110006 ; 2. 中 国 新 星 石 油 公 司 ,北 京 100083)   摘 要 : 在 非 线 性 渗 流 耦 合 的 条 件 下 ,研 究 弹 塑 性 多 孔 地 层 中 单 井 抽 放 问 题 。 建 立 了 问 题 的 基 本 方 程 和 力 学 模 型 ;推 出 了 应 力 和 孔 隙 压 力 的 解 析 解 ;得 到 了 确 定 塑 性 区 半 径 、弹 塑 性 交 界 面 上 的 径 向 应 力 和 孔 隙 压 力 的 方 程 ;导 出 了 屈 服 的 极 限 载 荷 ;并 进 行 了 实 例 计 算 。     关 键 词 : 多 孔 介 质 ; 非 线 性 渗 流 ; 流 固 耦 合 ; 弹 塑 性 ; 解 析 解 中 图 分 类 号 : O 357. 3 文 献 标 识 码 :A   渗 流 的 流 固 耦 合 问 题 是 理 论 上 与 实 践 中 都 十 分 重 变 。在 弹 性 区 内 介 质 和 孔 隙 改 变 的 本 构 方 程 为 要 的 问 题 ,文 献 [1 ,2 ]研 究 了 Darcy 定 律 的 流 动 条 件 下 σ r = λε v + 2 Gε r +α p ( 1) 定 量 抽 放 与 定 压 抽 放 的 渗 流 耦 合 问 题 的 解 析 解 。 文 献 σ θ = λε v + 2 Gεθ +α p [ 3 ,4 ]导 出 了 非 线 性 渗 流 耦 合 的 平 面 轴 对 称 问 题 和 二 n = n0 +Δ n ,Δ n = Qp - αε (2) 维 问 题 的 解 析 解 。 以 上 讨 论 均 假 设 多 孔 介 质 弹 性 体 。 但 在 工 程 实 践 中 ,饱 和 多 孔 介 质 的 塑 性 变 形 也 是 常 见 的 ,此 时 需 要 研 究 渗 流 耦 合 的 弹 塑 性 问 题 。 文 献 [5 ]在 稳 定 渗 流 的 条 件 下 研 究 了 含 单 井 的 多 孔 地 层 的 弹 塑 性 问 题 ,但 假 设 渗 流 服 从 Darcy 定 律 ,此 时 流 体 运 动 独 立 于 介 质 变 形 ,可 以 预 先 求 出 ,因 而 问 题 是 非 耦 合 的 。 本 文 则 考 虑 渗 透 系 数 依 赖 于 孔 隙 变 化 的 非 线 性 渗 流 ,在 稳 定 渗 流 的 条 件 下 推 出 了 含 单 井 的 有 界 地 层 中 弹 塑 性 渗 流 耦 合 问 题 的 一 个 解 析 解 ;导 出 地 层 发 生 屈 服 的 极 限 载 荷 ;并 进 行 了 实 例 计 算 。 v 1 基 本 方 程 和 力 学 模 型 图 1   单 定 压 抽 放 示 意 图 研 究 如 图 1 所 示 的 单 井 定 压 抽 放 问 题 ,图 中 r0 是 式 中 σ 、σ θ 分 别 是 径 向 和 切 向 总 应 力 , p 是 孔 隙 压 力 。 r 井 半 径 , re 是 塑 性 区 半 径 , p1 是 井 内 的 液 柱 压 力 , R 是 λ 、 G 是 拉 梅 常 数 ,α 、Q 是 Biot 常 数 。n 是 瞬 时 孔 隙 率 , n0 是 不 受 载 时 的 孔 隙 率 ,Δ n0 是 钻 井 和 抽 放 前 初 始 的 孔 隙 压 缩 ,Δ n 是 钻 井 和 开 采 引 起 的 孔 隙 变 化 。在 极 坐 标 内 的 平 衡 方 程 为 有 界 地 层 的 半 径 ,σ 是 初 始 地 应 力 。若 采 用 极 坐 标 ,则 0 几 何 方 程 为 ddru ,ε u ,ε v = ε r +ε (1) ε r = θ = θ d σ r + σ r - σθ r = 0 (3) dr r 式 (3) 在 形 式 上 与 孔 隙 压 力 无 关 , 但 (3) 式 是 一 个 方 式 中 ε θ 、ε 分 别 是 径 向 和 切 向 总 应 力 ,ε v 是 总 体 积 应 r Ξ 收 稿 日 期 :2000208216 作 者 简 介 :徐 曾 和 (19632) ,男 ,上 海 市 人 ,沈 阳 东 北 大 学 岩 石 破 裂 与 失 稳 研 究 中 心 教 授 。 研 究 方 向 为 渗 流 耦 合 问 题 与 岩 石 的 失 稳 破 裂 。 第 23 卷 增 刊徐 曾 和 等 : 弹 塑 性 非 线 性 渗 流 耦 合 问 题 的 一 个 解 析 解 1 85  程 ,包 含 了 两 个 变 量 σ 和 σθ ,因 此 还 要 补 充 其 他 方 程 。 求 出 弹 性 区 和 塑 性 区 的 渗 流 方 程 分 别 为 r 在 弹 性 区 内 ,若 以 应 力 为 基 本 变 量 ,则 应 补 充 应 力 协 调 方 程 ,该 方 程 与 孔 隙 压 力 有 关 。若 以 位 移 为 基 本 变 量 , 则 平 衡 方 程 为 e e e e 1 r dr d reA 1 p dp 1 r dr d reA 2 p dp = 0 = 0 (11) dr dr α 2 + λ + 2 G aα Q e e α dp 1 Q d dr 1 d[ ru ] (12) = - λ + 2 G dr (4) A 1 = a A 2 = r dr 式 (4) 、(6) 和 式 (11) 便 是 本 文 所 研 究 问 题 的 基 本 方 此 时 本 构 方 程 和 几 何 方 程 自 动 满 足 。式 中 上 标 “ e” 表 示 弹 性 区 。按 照 [5 ] 可 取 屈 服 准 则 为 程 。考 虑 定 压 开 采 问 题 ,则 在 弹 性 区 和 塑 性 区 的 边 界 条 件 分 别 为 弹 性 区 1 1 + sinφ - sinφ , S = 2 c0cos φ 1 - sinφ σ ′ θ = Nσ ′r + S , N = (5) e e σ r ( R) = σ  σ r ( re) = σ re 0 ( 13) e e p ( R) = p0 p ( re) = pe θ 式 中 σ ′ = σθ - α p ,σ ′r = σθ - α p ,φ 是 摩 擦 角 , c0 是 塑 性 区 内 聚 力 。将 屈 服 条 件 (5) 式 代 入 (3) 式 , 可 得 塑 性 区 内 p p σ r ( R) = σ reσ r ( r0) = p1 的 平 衡 方 程 为 (14) p p p ( re) = pe p ( r0) = p0 p 式 中 re 是 塑 性 区 半 径 ,σ re 、pe 分 别 是 弹 塑 性 交 界 面 re 处 的 径 向 应 力 和 孔 隙 压 力 。它 们 的 值 待 定 。式 (4) 、(6) 、 11) 和 式 (13) 、(14) 组 成 了 本 文 所 研 究 问 题 的 力 学 模 型 。 dσ α (1 - N) pp r + 1 - N p S r σ r = + (6) dr r r ( 式 中 上 标“ p” 表 示 塑 性 区 。设 渗 透 系 数 指 数 地 依 赖 于 an 瞬 时 孔 隙 率 ,即 k ( n) = k0 e ,则 有 3 弹 塑 性 非 线 性 渗 流 耦 合 问 题 的 解 k ( n) = k1exp ( aΔ n) 首 先 求 弹 性 区 问 题 的 解 答 。对 (4) 积 分 两 次 可 得 ( 7) k1 = k0exp[ a ( n0 +Δ n0) ] r 2 α 1 f 2 r0 + re e e u = - λ + 2 G r per′dr′ + r - u ( re) ∫r e r r 式 中 k0 和 a 是 反 映 渗 透 特 性 的 常 数 。此 时 非 线 性 的 渗 流 定 律 为 (15) e dp dr ( re) 和 f 是 积 分 常 数 。由 上 式 以 及 几 何 方 程 、本 式 中 u qr = - k ( n) (8) 构 方 程 和 应 力 边 界 条 件 容 易 求 出 弹 性 区 应 力 为 容 易 求 得 在 原 岩 应 力 (0 和 初 始 孔 隙 压 力 p0 的 作 用 下 , 地 层 的 初 始 位 移 、应 变 和 体 积 压 缩 ,以 及 初 始 孔 隙 改 变 λ 2 σ rere e u ( re) = f 1 + re - (16) (17) 为 G 2 G σ 0 - α p0 (λ + G) σ 0 - α p0 2 2 0 r  ε 0r = ε 0 = 2 (λ + G) - σ rer u = 2 θ (9) σ 0 R e f (λ + G) = - 2 2 R - re σ 0 - α p0 λ + G p0 Q - α σ 0 - α p0 λ + G R ε 0v  Δ n0 (10) 2 Gα λ + 2 G R 1 - = = per′dr′ 2 2 ∫ re r e 式 中 上 标“ 0” 表 示 初 始 值 。弹 性 区 的 孔 隙 压 缩 为 Δ n = ( e) 2 Gα σ r =λ + 2 G 非 r 1/ Q +α 2/ (λ + 2 G) ] p - α f ,在 稳 定 渗 流 条 件 下 式 [4 ] [ 2 R 1 ( e) 1 - r0 ( e) p r′dr′ 中 的 f 是 常 量 。若 采 用 塑 性 体 积 不 可 压 缩 的 假 设 ,则 塑 p r′dr′ - 1 - 2 2 2 2 + ∫ ∫r e p r R re r r 性 区 的 体 积 应 变 为 ε v =ε ve +ε v ,此 处 ε ve = const 是 弹 e 2 2 e 2 2 e 塑 性 交 界 面 上 的 体 积 应 变 , 因 此 塑 性 区 内 的 孔 隙 压 缩 σ 0 R - σ rer (σ 0 - σ re) R r - (18) p 2 2 2 r2e) r2 为 Δ n = p/ Q - αε ve 。注 意 到 n0 和 Δ n0 是 常 数 ,则 可 R - re ( R -    18 6重 庆 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 2000 年 1 - N ( e) 2 Gα r0 r σ θ =λ + 2 G 非 σ re = p1 ( e) +α (1 r′dr′ + r 2 R re 1 - N 1 ( e) 1 - r0 ( e) - N ) 1 - N re r0 r 2 p′ d r′ + r S 1 - N 1 - (25) (26) p - p r′dr′ - 1 + r p 2 2 2 2 r ∫re R re ∫r ∫ e r 0 2 - σ re 2 e (σ 0 - σ re) R r 2 e σ 0 R R r + (19) 2 2 2 r2e) r2 A 1 p0 - eA 1 A 1ln R/ re pe A 2 p0 - eA 2 pe - re ( R - e = e A 2ln re/ r0   现 在 求 弹 性 区 的 孔 隙 压 力 。注 意 到 f 是 常 量 ,在 边 界 条 件 (13) 下 积 分 可 得 (11) 式 可 得 ( 24) ~ (26) 组 成 了 确 定 re 、σ re 、pe 的 非 线 性 代 数 方 程 组 ,可 由 数 值 方 法 求 解 。考 虑 刚 发 生 屈 服 的 极 限 条 件 , 此 时 塑 性 区 半 径 re = r0 、σ re = pe = p1 则 从 (23) 式 可 eA 1 p0 - A A 1 pe ln R/ re e 1 A 1 ln r/ re + eA 1 pe p = ln (20) 得 屈 服 的 极 限 载 荷 为   现 在 求 塑 性 区 问 题 的 解 答 。在 边 界 条 件 (14) 下 积 2λ(λ ++2 GG)σ 0 - 分 (11) 式 和 (6) 式 ,并 利 用 屈 服 条 件 (5) 式 可 得 1 - N r αλ 1 + N (1 - α ) +λ + 2 G r0 + α (1 - N) p 1 p1 = S (27) p σ r = p1 p ′N d r′ + r 1 - N r r ∫r e 1 r0 - N 3   实 例 计 算 与 讨 论 S 1 - (21) 1 - N r 从 (24) ~ (26) 式 可 以 看 出 ,当 考 虑 到 渗 流 与 变 形 的 相 耦 合 时 ,塑 性 区 半 径 无 法 用 一 个 公 式 显 式 地 表 示 (如 卡 斯 特 纳 公 式 和 芬 纳 公 式 ) , 为 此 采 用 数 值 方 法 求 解 (24) ~ (26) 式 。取 参 数 λ = 1. 445 MPa , G = 2. 5 MPa ,α = 0. 3 , S = 20 MPa ,φ = 30°,σ 0 = 100 M Pa , p0 = 30 M Pa , p1 = 10 M Pa , R = 2 000 cm , r0 = 20 r p N p 1 p ′N d r′ p p + r σ θ = α (1 - N ) 1 - N + ∫r r 0 1 - N 1- N S r0 r0 1 - N + N p1 (22) (23) 1 - N r r eA 2 p0 - eA 2 pe p 1 ln ln r/ re + eA 2 pe p = cm 。将 它 们 代 入 (2) , (3) 式 可 算 出 A 2 ln R/ r0 € re = re/ r0 = 1. 443 2 σꢀe = σ e/ p0 = 0. 856 3 pe = σ e/ p0 = 0. 401 6 若 re 、σ re 、pe 已 知 就 可 由 (18) ~ (23) 求 出 两 区 内 的 应 ꢀ 力 和 孔 隙 压 力 。显 然 在 交 界 面 re 上 径 向 应 力 连 续 , 弹 性 应 力 满 足 屈 服 条 件 ,且 通 过 该 面 的 流 体 的 流 量 相 等 , 由 这 三 个 条 件 可 得 式 中 €re 、ꢀ e σ 、ꢀpe 都 是 无 量 纲 量 。 研 究 各 个 参 数 对 塑 性 区 半 径 的 影 响 。图 2 (a) 、(b) 2 Gα λ + Gpe +α pe ( N - 1) + 2 f (λ + G) = re (1 + N ) + 2 (σ 0 + p0) + S pe 是 单 向 抗 压 强 度 S 和 内 摩 擦 角 φ 对 塑 性 区 半 径 的 影 响 。   σ (24) ( a) (b) 图 2   参 数 S 、Φ 对 塑 性 区 半 径 影 响 图 第 23 卷 增 刊徐 曾 和 等 : 弹 塑 性 非 线 性 渗 流 耦 合 问 题 的 一 个 解 析 解 1 87  ( a) (b) 图 3   原 岩 应 力 与 井 内 液 径 压 力 影 响 图   从 图 中 可 以 看 出 :1. 当 地 层 强 度 增 加 , 即 S 和 φ 上 升 时 ,塑 性 区 半 径 减 小 。 参 考 文 献 : 图 3 (a) 、(b) 表 示 原 岩 应 力 和 井 内 液 柱 压 力 的 影 响 。从 图 中 可 以 看 出 :2. 当 地 应 力 增 大 时 塑 性 区 增 大 , [1 ] 徐 曾 和 ,章 子 霞 . 二 维 轴 对 称 耦 合 渗 流 问 题 的 解 析 解 及 应 用 [J ]. 力 学 与 实 践 ,1992 ,14(6) :44247. [ [ [ [ 2 ] 徐 曾 和 ,徐 小 荷 . 饱 和 多 孔 地 层 中 定 量 抽 放 的 流 固 耦 合 问 题 [J ]. 岩 土 工 程 学 报 ,1999 ,21(6) :7372741. 3 . 当 井 内 液 柱 压 力 下 降 时 塑 性 区 加 大 。上 述 1、2 两 条 在 物 理 上 是 容 易 理 解 的 。而 当 液 柱 压 力 减 小 时 ,产 量 增 加 ,因 此 第 三 条 表 明 随 着 产 量 的 增 加 塑 性 区 扩 大 ,这 与 工 程 实 际 也 是 吻 合 的 。在 图 2、3 中 A 用 来 表 示 渗 流 的 非 线 性 程 度 , A 越 大 非 线 性 越 显 著 。 3 ] 徐 曾 和 ,徐 小 荷 . 广 义 平 面 应 力 条 件 下 径 向 渗 流 的 液 固 耦 合 问 题 [J ]. 地 质 力 学 学 报 ,1999 ,5(1) :12216. 4 ] 徐 曾 和 ,徐 小 荷 . 二 维 应 力 场 下 承 压 地 层 中 渗 流 的 液 固 耦 合 问 题 [J ]. 岩 石 力 学 与 工 程 学 报 ,1999 ,18(6) :6452650. 5 ] WAN G Y,DUSSEAAUL T M B. Stresses around A circular Opening in An Elastroplastic Porous Medium Subjected to Repeated Hydraulic Loading[J ]. Int J Mech Min Sci & Ge2 omech Abstr ,31(6) :5792616. 本 文 仅 在 稳 定 渗 流 的 条 件 下 , 对 弹 塑 性 非 线 性 渗 流 耦 合 问 题 进 行 了 初 步 的 探 讨 。非 稳 定 渗 流 条 件 下 的 弹 塑 性 非 线 性 渗 流 的 耦 合 问 题 是 理 论 上 更 重 要 、工 程 上 更 有 意 义 的 问 题 ,对 此 问 题 作 者 将 另 文 讨 论 。 An Analytical Solution for Elastoplastically Nonlinear Seepage Coupling 1 1 2 XU Zeng2he , XU Xiao2he , LU Bao2ping ( 1. Rock Failure and Instability Research Center ,Northeast University ,Shenyang 110006 ,China ; 2 . China Xinxing Petroleum Corp ,Beijing 100083 ,China) Abstract : The single well pumping was considered in elastoplatic porous stratum in the case of nonlinear seepage cou2 pling. The Basic equations and mechanical model of the problem were build up. The analytical solutions for stress and pore pressure were derived. The equations determining plastic zone radius ,radial stress at elastoplastic interface and pore pressure were attained. The critical loading for yielding was also presented and illustrating calculation was further carried out. Key words : porous medium ; nonlinear seepage ; fluid2solid coupling ; elastoplastic ; analytical solution ( 责 任 编 辑 刘 道 芬 )
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