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浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析
2011-11-04
结合复变函数理论求解弹性力学平面带孔洞问题的优势,以及交替法简单的重复循环计算步骤,成功地解决 了半无限平面内双孔平行圆形隧道开挖的弹性问题,并且借助于计算机编程,获得了隧道开挖后围岩的应力场和位移 场。从附加面力的逼近精度、迭代计算的收敛度以及洞周位移三个不同的方面,对计算精度进行了讨论。此外,通过 工程实例分析,将现场实测的单孔和双孔隧道施工后产生的地表沉降值与理论计算结果相比较,发现两者吻合较好, 其中地表产生的最大沉降值的计算结果与实测值的误差不超过5%。
第33卷 第3期 岩 土 工 程 学 报 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Vol.33 No.3 Mar. 2011 2 011年 .3月 浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析 1 晏 莉 ,阳军生 ,刘宝琛 2 2 ( 1.长沙理工大学土木与建筑学院,湖南 长沙 410004;2.中南大学土木建筑学院,湖南 长沙 410075) 摘 要:结合复变函数理论求解弹性力学平面带孔洞问题的优势,以及交替法简单的重复循环计算步骤,成功地解决 了半无限平面内双孔平行圆形隧道开挖的弹性问题,并且借助于计算机编程,获得了隧道开挖后围岩的应力场和位移 场。从附加面力的逼近精度、迭代计算的收敛度以及洞周位移三个不同的方面,对计算精度进行了讨论。此外,通过 工程实例分析,将现场实测的单孔和双孔隧道施工后产生的地表沉降值与理论计算结果相比较,发现两者吻合较好, 其中地表产生的最大沉降值的计算结果与实测值的误差不超过5%。 关键词:双孔平行隧道;交替法;复变函数;应力场;位移场 中图分类号:U452 文献标识码:A 文章编号:1000–4548(2011)03–0413–07 作者简介:晏 莉(1979– ),女,讲师,主要从事隧道与岩土工程方面的教学与研究。E-mail: yl_21th@163.com。 Stress and displacement of surrounding rock with shallow twin-parallel tunnels 1 2 2 YAN Li , YANG Jun-sheng , LIU Bao-chen ( 1. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410004, China; . School of Civil Engineering and Architecture, Central South University, Changsha 410075, China) 2 Abstract: The derivation of an explicit analytical solution is presented to calculate the stress and displacement fields due to the excavation of twin-parallel tunnels in a homogeneous elastic half plane. The solution, which is achieved successfully by the program with computer, is based on the advantage of the complex variables for solving the problems of the plane with hole and WWW.KY114 .CN the simple repeated calculation steps of alternating method. The calculation precision is discussed from three different aspects of the approximation accuracy of additional surface force, the convergence degree of the iterative calculation and the displacement of tunnel boundary. Furthermore, the method is applied to a practical tunnel engineering. It is found that the calculated results of the surface displacements caused by excavation of a tunnel and twin tunnels agree with the measured results. The discrepancy of the maximum surface displacements between the analytical solution and the field measurement is less than 5%. Key words: twin-parallel tunnel; alternating method; complex variable; stress field; displacement field [ 4] 到任意次迭代后应力场及位移场的计算公式 。Kooi 0 引 言 目前城市地铁均采用平行双洞甚至多洞室布置形 等则采用双极坐标对考虑足够埋深下的两平行近距离 [ 5] 隧道的应力场进行了计算 。上述研究对象均是考虑 深埋隧道,即围岩条件可视为无限介质,初始应力场 为作用在无限远处的外荷载。但是,在浅埋条件下, 由于地表边界的存在,对隧道开挖后围岩的位移和应 力均产生一定影响,故计算时不可忽略,属于半无限 介质中洞室开挖问题。周小文和吴宏伟针对浅埋单孔 和多孔隧道开挖施工,提出了计算二维和三维地面沉 降近似的显式解析解,而对于隧道开挖产生的应力场 式。这些隧道大多距离地表面埋深很浅,且隧道之间 的间距也较小。因相互影响,双孔平行隧道开挖对地 表和围岩的影响程度和范围比单孔隧道施工更为显 著。 1 948 年,Ling 利用双调和函数获得了无限介质中 [1] 的两等尺寸圆孔的应力场精确解 。潘家铮曾对在内 水压力下两对称相邻布置的等尺寸圆形水工隧洞进行 [ 2] 了应力分析,并获得了近似的应力解 。刘新宇等应 [ 6] 却无法得知 。 ─────── 用复变函数方法推导了在任意侧压力系数的弹性地层 [ 3] 中,两孔深埋平行圆形隧道的应力解 。张路青运用 弹性理论中的复变函数法和Schwarz 交替法对任意布 置方式下两任意形状孔洞平面弹性问题进行研究,得 基金项目:教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-09-0569); 长沙理工大学桥梁与隧道工程重点学科基金项目 收稿日期:2009–10–14 4 14 岩 土 工 程 学 报 2011 年 本文在复变函数求解半无限平面内单孔圆形隧道 迭代(除第一次迭代外)。因此,上述3 个步骤构成一 次完整的迭代过程。由于迭代计算次数有限,两孔周 边的附加面力大小不可能同时满足绝对为零。但随着 迭代次数增加,附加面力会迅速趋于零,当达到一定 次数后,计算结果具有足够能满足工程需要的精度。 下面详细介绍上述三个计算步骤的具体求解过程。 开挖问题的基础上,运用交替法,获得了浅埋双孔隧 道开挖后围岩的应力和位移解,并通过计算编程获得 了实现。工程实例分析表明理论方法是有效的。 1 问题的求解原理 1 .1 问题描述 半无限平面内双孔圆形隧道的弹性问题,在Z 平 2 计算过程 面如图1 所示。该平面的上边界为应力自由边界,荷 载施加在洞室边界上,且为关于洞室边界的一个已知 形式的函数。两个洞室大小相等,半径均为 r,埋深 2.1 半无限平面内存在单洞的解 半无限平面内存在单孔圆形隧道,不考虑地表荷 载和位移,仅在洞室周边施加相等的均布径向荷载的 [8] ( 即洞室中心距地表的高度)相等为 h,洞室内部均 复变函数应力解已经由Verruijt 解出 。 受到相等的均布径向压力为t,两洞室的中心间距为c。 首先,采用保角映射,将单孔隧道所在的半无限 的z1 平面(即R 区域),映射为ζ1 平面的圆环区域(即 由 ζ1 = α 和 ζ1 =1两个圆包围起来的γ 区域,其中 α <1),如图2 所示。保角映射的公式为 2 z1 = ω1(ζ1) = −ih11 −α 1+ ζ1 , (1) 2 +α 1−ζ1 式中,α 是由洞室半径r 和埋深h 的比值(r/h)定义 的一个参数,可以表示为 图1 半无限空间内两孔圆形洞室 hr = 2α 。 (2) 2 Fig. 1 Half-plane with twin circular tunnels 1+α 1 .2 解题思路 针对问题的特点,考虑采用复变函数法与交替法 WWW.KY114 .CN 联合进行求解。对于弹性体而言,加载次序及几何形 [ 7] 状改变次数与最终应力无关 。因此,将图 1 所示问 题简化为一系列半无限平面内存在单孔隧道问题,具 体求解过程如下: ( 1)第一步 Z 平面内仅存在洞 1 且洞周作用应 1 力 t,利用复变函数法求出两个解析函数ϕ1 (z1) 和 1 ψ1 (z1) 。 1 1 ( 2)第二步利用ϕ1 (z1) 和ψ1 (z1) ,求出洞1 存在 1 的条件下在洞2 边界产生的附加面力 f1 (σ2 )(本文中 把洞边不为零的面力称为附加面力)。 ( 3)第三步假设洞1 不存在,Z 平面内存在洞2 1 且洞周作用应力t 以及与 f1 (σ2 ) 大小相等、方向相反 1 1 的反面力,求出仅存在洞2 时的解ϕ2 (z2 ) 和ψ2 (z2 ) 。 如果此时计算得到的洞 1 周边面力为零,则将 1 1 1 1 ϕ1 (z1) 、ψ1 (z1) 和ϕ2 (z2 ) 、ψ2 (z2 ) 分别叠加就为双孔 隧道存在的解;如果不为零,则要继续在洞1 周边施 加一组反面力,使洞1 周边的合面力为零,而洞2 周 边又会产生附加面力。这样反复求解,直至两个孔边 的面力均为零,把每次迭代的计算结果叠加起来,就 得到问题的解。 图2 半无限平面单孔圆形隧道 Fig. 2 Half-plane with a circular tunnel 如果要求出R 区域内各点的应力和位移值,关键 在于找到两个在R 区域内的解析函数ϕ1(z1) 和ψ1(z1) 。 由于映射函数ω1(ζ1) 在圆环γ 区域内处处解析,那么 在 R 区域内的解析函数ϕ1(z1) 和ψ1(z1) 可视为ζ1 的函 本文定义,两孔周边各加一次反面力为完成一次 第3 期 晏 莉,等. 浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析 415 数。而且,ϕ1(ζ1) 和ψ1(ζ1) 在ζ1 平面的圆环域γ 内处 处解析。因此,它们可以展开为洛朗级数形式: f1(σ2 ) = f1(θ) = g1(θ) + ig2 (θ) , (11) 式中,g1(θ) 和g2 (θ) 分别表示 f1(θ) 的实部和虚部关 于洞 2 周边点坐标的函数形式,且均为在区间 0≤θ≤2π 上的实函数。 ∞ ∞ k −k ϕ1(z1) = ϕ1(ζ1) = akζ1 + bkζ1 , 。 (3) (4) ∑ ∑ k=0 k=1 ∞ ∞ k −k 设周期为 2π 的函数g(θ) 在区间(0,2π) 的等距离 点θv 处的n 个值是已知的,θv 可以表示为 ψ1(z1) =ψ1(ζ1) = ckζ1 + dkζ1 ∑ ∑ k=1 k=0 θv = 2πv (n > 2m;v = 0,1,…,n-1) 。 (12) 上述级数在ζ1 平面的整个圆环域γ 内均收敛。系 数ak ,bk ,ck 和dk 则由边界条件确定。 n 而函数在各点的给定值分别记作 考虑洞室周边受到均布的径向应力,大小为 t, 经过变换,洞周应力边界条件可以表示为 g(θ0 ), g(θ1), g(θ2 ), …,g(θn ) 。 2 ithα 由于此函数的周期性,g(θ0 ) = g(θn ) 。今考虑 m 次的三角多项式(m 固定),并企图借助于具有适当选 F = (1+α )(1−ασ )[α −σ + i(1−ασ )] 。 (5) 2 1 1 择系数的这个多项式去逼近函数g(θ) 最终求得解析函数ϕ1 (ζ1 ) 和ψ1 (ζ1 ) 的形式分别 8] ∞ [ φm (θ) = 12α0 + (αk coskθ + βk sin kθ) 。 (13) 为 ∑ 1 2 ϕ1 (ζ1) = 2iα k=1 2 −2i(1+α ) + 2iζ1 + , (6) , (7) (8) P ζ1 今有n > 2m 个常数,以多项式φm (θ) 逼近g(θ) 时, 应当满足n 个条件,即需要确定2m+1 个常数αk 和βk 使得函数φm (θ) 在n 个给定点θv 处与g(θ) 的给定值重 合。因此,在选择多项式(13)的系数时考虑 n 个不同 1 2 2i + iα 2 ψ1 (ζ1) = 2 2 2 −3i(1+α ) + 2iα ζ1 + iζ1 + P ζ1 ζ1 2 α th 式中 P = (1−α )(1−α ) 。 2 4 点处φ (θ) 与g(θ) 的平均平方偏差最小,即确定2m+1 m 个常数αk 和βk 使之满足以下方程: 2 .2 附加面力的确定 n−1 ⎧ 参照文献[4],可以直接利用求得的解析函数 1 [ g(θv ) −φm (θv )] = 0 , ⎪ ∑ v=0 n−1 1 ϕ1 (ζ1 ) 和ψ1 (ζ1 ) 计算洞2 周边各点的附加面力,即 ⎪ ⎪ ⎨ ω (γ ) 1 1 [g(θ ) −φ (θ )]cosλθ = 0, (λ =1,2,…,m) ,(14) f1(σ2 ) = ϕ (γ ) + ϕ′(γ ) +ψ (γ ) 。 (9) W 1 ∑ v m v v W 1 1 W 1 1 1 . 1 KY114 .CN v=0 ω′(γ ) ⎪ 1 n−1 ⎪ [ v=0 g(θ ) −φ (θ )]sinλθ = 0 。 v m v v 式中 σ2 为洞2 周边各点在ζ 平面上的坐标;f (σ ) ⎪ ∑ 2 1 2 ⎩ 1 1 1 为由ϕ1 (ζ1 ) 和ψ (ζ ) 在σ 所对应点处引起的附加面 1 2 将 n 个θ 值均代入上式(14),并且根据三角函数 力;γ1 则是σ2 经过映射变换T2 = ω2 (σ2 ) ,坐标平移 [9] 的正交性,最终计算得到式(13)的各项系数为 −1 T1 = T2 + c 及逆映射变换γ1 = ω1 (T1) 得到的在ζ1 平面 上洞2 周边点坐标。其中,T1,T2 分别表示半无限平 面内各点分别在图 1 中所示 x1o1y1 和 x2o2y2 坐标系下 的坐标值,c 则表示两洞室之间的中心距。 1 n−1 g(2πv) ⎧ ⎪ ⎪ α0 = n ∑ v=0 n−1 n g(2πv n ⎪ 2 n 2 n )cos 2vkπ ,(k=1,2,…,m) (15) αk = ⎨ ⎪ ⎪ ∑ v=0 n−1 n 此时,利用式(9)便可以计算出洞2 周边任意点 所对应的附加面力值 f1(σ2 ) 。但是,面力分布并没有 显式地表达出来。由于 f1(σ2 ) 是个矢量,并且在ζ2 平 面上为分布在圆周上以2π 为周期的函数。如将该矢量 函数表示为复变函数的形式,则可以利用有限项数的 复数级数来逼近 f1(σ2 ) 在洞2 周边的分布,即 g(2πv)sin 2vkπ βk = ⎪ ⎩ ∑ n n v=0 利用式(15),分别表示 f1(θ) 实部和虚部的函数 g1(θ) 和g2 (θ) 均可展开为富氏级数形式,令: m g1(θ) = 12 A0 + (Ak coskθ + Bk sin kθ) , (16) ∑ k =1 L m k g2 (θ) = 12 A0′ + (Ak′ coskθ + Bk′ sin kθ) , (17) f1(σ2 ) = ∑ Dkσ2 , (10) ∑ k=−L k=1 式中,Dk 为复数逼近式中σ2 的各幂次项系数,并且 一般为复数。当L 达到一定值时就可以达到很高的逼 近精度。 将上两式代入式(11),经过整理,可以得到 m ikθ −ikθ ) f1(θ) = D0 + (Dk e + D−k e ∑ k=1 m m (18) ikθ k σ2 也可用极坐标θ 来表示,即σ2 = exp(iθ) ,故 f1(σ2 ) 也可写成关于θ 的函数表达式 f1(θ) ,其中 0 ≤θ≤2π 。由于 f1(θ) 为复数形式,即 = Dk e = Dkσ = f1(σ ) 。 ∑ ∑ k =−m k=−m 其中 4 16 岩 土 工 程 学 报 2011 年 ⎧ A0 + iA0′ = 只是在不同的迭代次数和开挖不同洞室时,变换相应 的量即可。由于反面力的合力为一平衡力,所以每个 单孔问题中的两复应力函数都可写成如式(3)、(4) 中的ϕ1(ζ1) 和ψ1(ζ1) 的形式,但具体的函数变量和各 幂次系数不同。 D0 , ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ (Ak + iAk′) − i(Bk + iBk′) = (Ak + Bk′) + i(Ak′ − Bk ) = D , k 2 2 ⎪ ⎪ ( Ak + iAk′) + i(Bk + iBk′) = (Ak − Bk′) + i(Ak′ + Bk ) = D−k 。 ⎪ ⎩ 2 2 根据上述所提供的解析算法及具体精度要求,可 进行任意次迭代计算,将所有迭代结果进行叠加即得 最终解。假定叠加后两复应力函数为ϕ(ζ ) 和ψ (ζ ) , 其中ζ 可以是ζ1 或ζ2(但函数的具体表达形式不同), ( 19) 至此,经过一系列的计算即实现了利用复数级数 逼近 f1(σ2 ) 在洞2 周边的分布。不难看出,此逼近函 数的精度不仅取决于所选取的逼近总点数 n,而且与 选取的级数项数目m 有较大关系,选取的n 和m 越大, 逼近的精度就越高。 [ 10] 则可得到极坐标系下的各应力分量组合为 ⎧ σ +σ = 2[Φ(ζ ) + Φ(ζ )] = 4Re[Φ(ζ )] , θ ρ ⎪ ⎨ 2 2 .3 第一次迭代计算仅存在洞2的解 2ζ 2 σθ −σρ + 2iτρθ = ρ ω′(ζ )[ω(ζ )Φ′(ζ ) + ω′(ζ )Ψ(ζ )] 。 ⎪ 已知洞 2 周边反面力为− f1(σ2 ) ,且洞周作用均 ⎩ 布径向应力 t,在此边界荷载条件下,仅存在洞 2 的 (22) 1 1 z2 平面的解析函数为ϕ2 (z2 ) 和ψ2 (z2 ) ,在ζ2 映射平面 式中 σρ ,σθ 和τρθ 分别为极坐标系下的径向应力、 环向应力和剪切应力;ρ 为映射平面上的径向坐标; Φ(ζ ) 为ϕ′(ζ ) /ω′(ζ ) ,Ψ (ζ ) 为ψ ′(ζ )/ω′(ζ ) 。 1 1 下写为ϕ2 (ζ2 ) 和ψ2 (ζ2 ) ,所利用的应力边界条件为 ϕ2 (σ2 ) + ω2 (σ2 )ϕ2′(σ2 ) +ψ2 (σ2 ) [10] 此外,直角坐标系下各位移分量组合为 ω2′(σ2 ) m (20) k = − Dkσ2 + F , ∑ ω(ζ ) ϕ′(ζ ) −ψ (ζ ) 。 (23) k=−m 2G(u + iv) = κϕ(ζ ) − ω '(ζ ) 式中,ϕ2 (σ2 ) 和ψ2 (σ2 ) 分别为ζ2 平面上圆环域上两 1 1 式中 u 和 v 分别表示两坐标轴方向即水平方向位移 和垂直方向位移;G 为剪切模量;κ 为与泊松比ν 有 关的常数,对于平面应变κ = 3 − 4ν ,对于平面应力 κ = (3 −ν )/(1+ν ) 。 解析函数ϕ (ζ2 ) 和ψ2 (ζ2 ) 在圆周 ζ2 = α 上的值, 2 1 1 ϕ2 (ζ2 ) 和ψ2 (ζ2 ) 的函数形式分别同式(3)和(4)。 同时,由于洞2 与洞1 的形状、大小和埋深均相同, 故ω2 (ζ2 ) 与F 的 W 形式分别 W 与式(1) W 和(5) . 相 K 同。 Y114 .CN 如果考虑地表边界有外荷载,只须在推导半无限 平面包含单洞问题时更改一下地表边界条件即可。对 于位移边值或混合边值问题,相应的迭代过程及公式 推导步骤均一样。 此时,等式(20)右边为已知形式,即关于σ 的 2 各项系数均为已知数,考虑等式两边同幂次系数相同, 1 1 即可解出ϕ2 (ζ2 ) 和ψ2 (ζ2 ) 洛朗级数的各项系数。 1 1 1 1 最后,将ϕ1 (ζ1) ,ψ1 (ζ1) 和ϕ2 (ζ2 ) ,ψ2 (ζ2 ) 分别 叠加即为交替法第一次迭代计算的结果。 2 .4 应力场和位移场的求解 3 求解问题的实现 不难看出,利用复变函数法和交替法求解半无限 弹性平面内双孔平行隧道的问题,运算过程比较繁琐, 但是有一定的步骤可以遵循,不会遇到原则性的困难。 而且计算方法相对来说比较简单,易于编程计算。依 照整个求解过程,编制了相应的计算程序。在计算中, 选择判断附加面力是否满足零面力条件作为迭代计算 的终止条件。但是,在实际的计算中是不可能得到真 正的零面力。因此,设定一个附加面力的下限值0.2 Pa (在本文后面的计算条件中,该值约为洞室边界初始 应力值的二十五万分之一),如果在每次的迭代计算完 成后,洞1 周边各点的附加面力在x 和y 方向分量均 小于这个值,则认为满足条件,迭代计算停止。 第一次迭代求解完成之后,洞2 满足仅包含均布 1 1 径向应力的边界条件,而由于ϕ2 (ζ2 ) 和ψ2 (ζ2 ) 的存在 洞1 周边可能仍有附加面力。在洞1 周边施加相应的 反面力,可求出在该反面力作用下只有洞 1 的解 2 2 ϕ1 (ζ1) 和ψ1 (ζ1) ,所利用的应力边界条件为 m ω1(σ1) 2 2 2 k Ekσ1 ,(21) ϕ1 (σ1) + ω1′(σ1)ϕ1 ′(σ1) +ψ1 (σ1) = − ∑ k=−m 2 2 式中,ϕ1 (σ1) 和ψ1 (σ1) 分别为ζ1 平面上圆环域上两解 2 2 析函数ϕ1 (ζ1) 和ψ1 (ζ1) 在圆周 ζ1 = α 上的值;Ek 为 洞 1 周边附加面力的级数逼近中各幂次项系数。 2 ϕ1 (ζ1) 和ψ1 (ζ1) 的函数形式与式(3)、(4)相同。 如此反复迭代求解,直到两洞周边附加面力足够 小为止。 2 4 计算精度的讨论 本计算过程中涉及级数的逼近以及迭代求解,故 从第二次迭代计算开始,所利用的应力边界条件 都如式(21),即每个单孔问题均只考虑孔边的反面力, 第3 期 晏 莉,等. 浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析 417 先对计算的精度进行讨论。 随着迭代次数的增多,计算得到的洞边附加面力 越趋近于零,迭代结果也会越来越精确。由于两隧道 相距越近,其相互影响越大,所以分析两隧道相距较 近时的计算结果和精度最具有代表性。图3 给出了浅 埋条件下双孔平行隧道作用均布径向力的算例模型, 其中两洞室沿I-I 轴呈对称分布。 图4 洞2周边附加面力的计算值与逼近值(L=100) Fig. 4 Calculated results and approximate values of additional surface force at edge of second hole 4 .2 迭代计算的收敛速度 交替法的整个求解过程是一个通过多次迭代计算 逐步消除附加面力的过程,计算结果的好坏直接反映 在洞边最终附加零面力条件是否满足。在直角坐标系 下,附加面力分别表示为Fx 和Fy ,如果两者越接近于 零,那么计算结果就越精确。 图3 计算模型尺寸和边界条件 Fig. 3 Dimensions and boundary conditions in model 表2 所示为各迭代计算步骤后洞1 周边产生的最 大附加面力分量值。由表可知,附加面力随着计算迭 代次数的增加而减小,而且下降的速度很快,尤其以 前3 次迭代计算对其影响最为显著。经过14 次迭代计 算后,洞1 周边产生的附加面力x 和y 方向最大分量 值仅为0.0633 Pa 和0.1063 Pa,远远小于洞周的初始 应力值,且满足设定的零面力条件即附加面力的各分 量均小于0.2 Pa,计算结束。此外,通过计算发现, 4 .1 附加面力的逼近精度 以第一次迭代计算为例,分析洞1 开挖在洞2 周 边引起的附加面力及其级数逼近的精度。取洞2 周边 60 个坐标点对附加面力值进行逼近,并确定取不同L 3 值(即L=20,50 或100)时的复数级数。 表1 所示为取不同L 值时的附加面力 f1(σ2 ) 两个 不同方向分量的逼近误差。由表可知,无论L 取值多 完成本次迭代计算的时间不超过 1 min,由此可见, WWW.KY114 .CN 少,逼近的误差均不大,没有超过 5%。附加面力 x 分量误差随着L 的增加减小得很快,而L 越大,附加 面力 y 分量的逼近误差也越大,但这只出现在个别 y 分量值很小的情况,与逼近所采用的计算方法有关。 对于绝大部分坐标点,y 分量的逼近误差都要远远小 于 x 分量,这从表中绝对误差平均值可以看出。图 4 所示为当L=100 时,洞2 周边各点附加面力的计算值 与逼近值,其角度θi 的变化如图3 中所示洞2 坐标。 由图可知,附加面力x 和y 分量分别呈现正弦和余弦 分布,这也印证了附加面力分量可以用富氏级数来逼 近的可行性。此外,逼近值几乎与计算值重合,逼近 效果很好。在本文后面的计算中,均取360 个洞周点 利用该方法,问题计算的收敛速度十分快且便捷。另 外,双孔隧道在不同的间距条件下,计算收敛所需的 迭代次数也不同,相比较而言,如果两个洞室相距比 较远,所需的计算迭代次数会更少,有利于实际计算 操作。 表2 不同迭代计算次数后洞1周边最大的附加面力分量 Table 2 Maximum components of additional surface force at edge . .of first hole by different calculation steps 附加面力 附加面力 /Pa /Pa 迭代 F x F y /Pa 迭代次数 F x y F /Pa 次数 1 2 3 4 5 6 7 120862.500 9563.617 13290.900 3829.784 2058.555 2295.217 467.359 1008.412 8 9 19.3080 6.9690 3.3790 1.0370 0.3349 0.1195- 6.33×10 42.5510 16.0370 6.5010 1.9260 0.6709 0.2277 0.1063 10 11 12 13 14 且L 为100 进行逼近。 表1 附加面力的逼近误差 206.771 91.997 44.102 451.210 207.299 93.583 Table 1 Approximation accuracy of additional surface force 2 误差 4 .3 洞周位移分析 图5 所示为洞1 和洞2 最终的洞周收敛图。为了 L 绝对误差平均值/% 绝对误差最大值/% 绝对误差最小值/% x 分量 0.8162 0.1307 0.0326 y 分量 0.0011 0.0013 0.0028 x 分量 4.8284 0.7732 0.1935 y 分量 0.37 x 分量 0.0007 0.0002 0 y 分量 将双洞与单洞施工的区别表现出来,图5 中在洞1 内 也绘出了仅洞1 先行修建后洞室周边收敛曲线。通过 比较不难发现,由于两个洞室相距较近,故双洞中任 一单洞的施工都会对相邻洞室产生影响,而这种影响 2 0 0 0 0 0 5 0.4223 0.8624 1 00 4 18 岩 土 工 程 学 报 2011 年 表现在洞室收敛曲线上为呈现椭圆变形,即与单洞施 工的洞周收敛曲线相比较,双洞修建洞室垂直方向的 高度缩小以及水平方向的直径拉大,两个洞室均发生 偏向中间岩柱的位移,且洞室顶部的垂直位移也大于 洞室底部产生的垂直位移。这个结果与 Ghaboussi 和 布规律基本一致。双孔隧道由于相隔较近,故开挖后 产生的地表沉降曲线与单孔隧道开挖引起的地表沉降 曲线相似,呈现“单峰”分布,在两隧道中心对称轴 处地表沉降值最大,其实测最大值为22 mm,而计算 的地表最大沉降量则为23.2 mm,误差仅为5%。总体 来说,无论是单孔隧道还是双孔隧道开挖引起的地表 下沉结果与实测值均较为吻合。 [11] Ranken 的有限元计算结果一致,且与实际浅埋双孔 平行隧道开挖所产生的现象也十分吻合,说明了理论 计算的合理性。 6 结 语 本文提出了浅埋双孔平行隧道平面弹性问题的复 变函数与交替法理论计算方法,并编制了相应计算程 序,获得了浅埋双孔平行隧道开挖后围岩的应力和位 移解,在对计算精度进行讨论分析的基础上,进一步 对隧道工程实例进行对比分析发现,理论计算结果与 隧道现场实测结果吻合较好。 本文所介绍的理论计算方法是针对浅埋双圆孔平 行隧道在任意布置方式下的平面弹性问题,其求解方 法和过程均适用于浅埋任何双圆孔隧道的平面弹性问 题,并都可以得到任意迭代后的解析解。换句话说, 根据交替法本身的特点,该程序不仅可以分析处于任 意位置的双圆孔隧道,而且隧道的大小可以不一,洞 室内部的应力分布也可不相同。此外,如果可以找到 洞室合理的映射函数,那么对于浅埋条件下开挖两个 图5 洞室边界的最终收敛曲线图 Fig. 5 Convergence curves of holes 5 工程实例分析 某区间隧道为双孔水平布置。隧道沿线穿越地层 较为复杂,主要穿越的土层为灰色黏质粉土层、灰色 淤泥质黏土层、灰色黏土层、灰色粉质黏土层、暗绿~ 草黄色粉质黏土层、草黄色砂质黏土层、灰黄色粉砂 层。该隧道采用土压平衡盾构施工,盾构外径为6340 mm,两个平行隧道覆土层厚度为16 m,间距为13.98 WWW.KY114 .CN 任意形状洞室的位移和应力求解也是可以进行的。根 据不同的问题以及不同的精度要求,都可以得到满意 的计算结果。 [ 12] 参考文献: m,左线隧道先行开挖通过 。 [ 1] LING Chin-bing. On the stresses in a plate containing two circular holes[J]. Journal of Applied Physics, 1948, 19: 77– 8 2. 2] 潘家铮. 相邻水工隧洞的原理分析[J]. 地下工程, 1979(1): –12. (PAN Jia-zheng. Analysis of mechanism of adjacent hydraulic tunnels[J]. Underground Engineering, 1979(1): 2– 2. (in Chinese)) [ 2 1 [ [ 3] 刘新宇, 侯学渊. 平行圆形隧洞的应力分析[J]. 同济大学 学报, 1985(3): 15–26. (LIU Xin-yu, HOU Xue-yuan. Stress analysis for parallel circular tunnels[J]. Journal of Tongji University, 1985(3): 15–26. (in Chinese)) 图6 某双线平行隧道的地表沉降实测值和计算曲线 Fig. 6 Measured and calculated values of surface displacements . caused by excavation of twin-parallel tunnels 4] 张路青, 杨志法, 吕爱钟. 任意布置方式下两任意形状孔 洞平面弹性问题的解析法研究[J]. 中国科学(D 辑), 2000, 取该地层的弹性模量E 为34.22 MPa,泊松比ν 为 [13] .27,洞周均布径向应力为200 kPa 。应用编制的计 0 3 0(5): 509–518. (ZHANG Lu-qing, YANG Zhi-fa, LÜ 算程序,计算地表产生的沉降如图6 所示。由图可知, 单孔隧道地表沉降的计算值与实测值吻合较好,而双 孔隧道地表沉降的计算值略大于实测值,但是总体分 Ai-zhong. Analytical study on plane elastic problem of two random geometry tunnels[J]. Science in China(Series D), 第3 期 晏 莉,等. 浅埋双孔平行隧道开挖围岩应力和位移分析 419 2 000, 30(5): 509–518. (in Chinese)) [10] 徐芝纶. 弹性力学(上册)[M]. 第 3 版. 北京: 高等教育出 版社, 2005. (XU Zhi-lun. Elasticity(Volume One) [M]. 3rd ed. Beijing: Higher Education Press, 2005. (in Chinese)) [ 5] KOOI C B, VERRUIJT A. Interaction of circular holes in an infinite elastic medium[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2001, 16: 59–62. [11] GHABOUSSI J, RANKEN R E. Interaction between two parallel tunnels[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1977, 1: 75–103. [ 6] ZHOU Xiao-wen, NG C W W. Analytical solution for estimating surface settlements induced by multiple tunnel excavation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, [ 12] 赵华松, 周文波, 刘 涛, 等. 双线平行盾构施工引起的 土体位移分析及其软件开发[J]. 上海大学学报(自然科学 版), 2005, 11(4): 416–422. (ZHAO Hua-song, ZHOU Wen-bo, LIU Tao, et al. Numerical simulation and software development of soil displacement due to double-tube parallel tunnels[J]. Journal of Shanghai University(Natural Science), 2 007, 29(11): 1703–1710. [ 7] 陈子萌. 围岩力学分析中的解析方法[M]. 北京: 煤炭工业 出版社, 1994. (CHEN Zi-meng. Analytical methods in analysis of rock mechanics[M]. Beijing: China Coal Industry Publishing House, 1994. (in Chinese)) [ 8] VERRUIJT A. Deformations of an elastic half plane with a circular cavity[J]. Int J Solids Structures, 1998, 35(21): 2795– 804. 2 005, 11(4): 416–422. (in Chinese)) [ 13] 孙 钧, 刘洪洲. 交叠隧道盾构法施工土体变形的三维数 值模拟[J]. 同济大学学报, 2002, 30(4): 379–385. (SUN Jun, LIU Hong-zhou. 3-D Numerical simulation of ground surface settlement under overlapped shield tunneling[J]. Journal of Tongji University, 2002, 30(4): 379–385. (in Chinese)) 2 [ 9] III E 米凯拉德捷. 数学分析的数值方法[M]. 童勤谟, 方 侃, 译. 北京: 科学出版社, 1957. (MИКЕПАДЗЕ Щ Е. Numerical methods of mathematical analysis[M]. TONG Qin-mo, FANG Kan, trans. Beijing: Science Press, 1957. (in Chinese)) 第十一届全国青年岩石力学与工程学术大会第1号通知(征文) 2011 年11 月17~20 日,青岛) ( WWW.KY114 .CN 主办单位:中国岩石力学与工程学会青年工作委员会 ⑧岩石力学测试、监测、检测新设备、新技术。 承办单位:青岛理工大学 会议论文与出版:会议投稿论文要求为原创、未公开发表 的内容,经严格评审后择优发表在《岩石力学与工程学报》正 刊、《地下空间与工程学报》正刊与增刊上,按相关规定收取 版面费。论文版面一般不超过7 页,论文格式请按照《岩石力 学与工程学报》或《地下空间与工程学报》版面排版。 投稿邮箱:qdrock@163.com。 协办单位:(协商中) 大会邀请及主题:中国岩石力学与工程学会青年工作委员 会拟定于2011 年11 月在青岛召开“第十一届全国青年岩石力 学与工程学术大会”,会议主题:“低碳时代的城市地下空间与 工程”。中国岩石力学与工程学会青年工作委员会敬请全国相 关学科的专家、学者、科技工作者与工程技术人员,特别是青 年岩石力学工作者踊跃撰稿,集聚青岛,围绕会议主题探讨与 交流岩石力学研究成果与工程实践经验。 重要日期:①2011 年4 月30 日前提供论文全文(电子版); ②2011 年5 月31 日发出论文录用和修改通知;③2011 年6 月 20 日前提交修改后的全文;④2011 年 10 月 15 日会议发报到 通知;⑤2011 年10 月15 日优惠注册费截止;⑥2011 年11 月 17 日会议代表报到;⑦2011 年11 月18-19 日学术交流;⑧2011 年11 月20 日工程考察。 会议要点:本次学术大会组织委员会和学术委员会由承 办、协办单位,学会和青委会专家组成(另文通知);大会邀 请院士与国内外岩石力学与工程界知名专家作特邀报告;评选 优秀论文;会前召开中国岩石力学与工程学会青年工作委员会 全体会议,讨论青委会工作,换届与增补新会员。 会议联系方式:承办单位:青岛理工大学,联系人:王在 泉、孔亮、张黎明,电话:0532-85071570;13969666131, 13792498401,13792881301,传真:(0532)85071136。E-mail: qdrock@163.com。邮编:266033,地址:青岛市抚顺路 11 号 青岛理工大学工程力学系。 会议专题:①岩石力学基本性质与本构关系;②岩石力学 新理论、新方法;③岩石工程数值分析与仿真;④地下空间与 城市可持续发展;⑤地下空间设计理论与建设技术;⑥地下工 程稳定性与风险分析;⑦城市环境岩土工程问题与防治技术; ( 青岛理工大学 王在泉 供稿)
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