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边坡处治基本理论及稳定性分析
2013-09-10
边坡处治基本理论及稳定性分析。
第2章 边坡处治基本理论及 稳定性分析  本章重点 ( ( ( 1)边坡稳定性概念 2)边坡稳定性分析基本理论和假定 3)条分法 ( 4)不平衡推力传递系数法 ( ( ( 5)有限元法 6)非线性有限元 7)有限元计算成果和安全判定准则 § 2.1 概 述 边坡处治,首先要进行稳定性分析。边坡稳定分 析的方法很多,目前在工程中广为应用的是传统的 极限平衡理论。近几年,基于不同的力学模型而建 立起来的各种数值分析计算方法也越来越受到工程 界的重视。 § 2.1.1边坡稳定性概念 边坡一般是指具有倾斜坡面的土体或岩体,由于 坡表面倾斜,在坡体本身重力及其他外力作用下, 整个坡体有从高处向低处滑动的趋势,同时,由于 坡体土(岩)自身具有一定的强度和人为的工程措施, 它会产生阻止坡体下滑的抵抗力。一般来说,如果 边坡土(岩)体内部某一个面上的滑动力超过了土(岩) 体抵抗滑动的能力,边坡将产生滑动,即失去稳定; 如果滑动力小于抵抗力,则认为边坡是稳定的。 在工程设计中,判断边坡稳定性的大小习惯上采 用边坡稳定安全系数来衡量。l955年,毕肖普 ( A.W.Bishop)明确了土坡稳定安全系数的定义: τ f FS = τ (2.1) τ 式中: f ——沿整个滑裂面上的平均抗剪强度; r——沿整个滑裂面上的平均剪应力; F S ——边坡稳定安全系数。 按照上述边坡稳定性概念,显然,>1,土坡稳定; <1,土坡失稳;=1,土坡处于临界状态。 毕肖普的土坡稳定安全系数物理意义明确,概 念清楚,表达简洁,应用范围广泛,在边坡工程处 治中也广泛应用。其问题的关键是如何寻求滑裂面, 如何寻求滑裂面上的平均抗剪强度和平均剪应力τ。   边坡的稳定是一个比较复杂的问题,影响边坡稳 定性的因素较多,简单归纳起来有以下几方面: ( 1)边坡体自身材料的物理力学性质 边坡体材料一般为土体、岩体、岩土及其他材料 混合堆积或混合填筑体(如工业废渣、废料等),其本 身的物理力学性质对边坡的稳定性影响很大,如抗剪 强度(内摩擦角,凝聚力)、容重(包括天然容重和饱和 容重等)。 ( 2)边坡的形状和尺寸  这里指边坡的断面形状、边坡坡度、边坡总高度 等。一般来说,边坡越陡,边坡越容易失稳,坡度越 缓,边坡越稳定;高度越大,边坡越容易失稳,高度 越小,边坡越稳定。 ( ( 3)边坡的工作条件   边坡的工件条件主要是指边坡的外部荷载,包 括边坡和边坡顶上的荷载、边坡后传递的荷载,如 公路路堤边坡顶上的汽车荷载、人行荷载等,储灰 场后方堆灰传递的荷载,水坝后方水压力等。 边坡体后方的水流及边坡体中水位变化情况是 影响边坡稳定的一个重要因素,它除自身对边坡产 生作用外,还影响边坡体材料的物理力学指标。 4)边坡的加固措施  边坡的加固是采取人工措施将边坡的滑动传送 或转移到另一部分稳定体中,使整个边坡达到一种 新的稳定平衡状态,加固措施的种类不同,对边坡 稳定的影响和作用也不相同,但都应保证边坡的稳 定。 § 2.1.3边坡稳定性分析基本理论和假定  边坡稳定分析的方法比较多,但总的说来可 分为两大类,即以极限平衡理论为基础的条分法 和以弹塑性理论为基础的数值计算方法。  条分法以极限平衡理论为基础,由瑞典人彼 得森(K.E.Petterson)在1916年提出,20世纪30~40 年代经过费伦纽斯(W.Fellenius)和泰勒 ( ( D.W.Taylor)等人的不断改进,直至l954年简布 N.Janbu)提出了普遍条分法的基本原理,l955年 毕肖普明确了土坡稳定安全系数,使该方法在目 前的工程界成为普遍采用的方法。 条分法实际上是一种刚体极限平衡分析法。其 基本思路是:假定边坡的岩土体坡坏是由于边坡 内产生了滑动面,部分坡体沿滑动面而滑动造成 的。滑动面上的坡体服从破坏条件。假设滑动面 已知,通过考虑滑动面形成的隔离体的静力平衡, 确定沿滑面发生滑动时的破坏荷载,或者说判断 滑动面上的滑体的稳定状态或稳定程度。该滑动 面是人为确定的,其形状可以是平面、圆弧面、 对数螺旋面或其他不规则曲面。隔离体的静力平 衡可以是滑面上力的平衡或力矩的平衡。隔离体 可以是一个整体,也可由若干人为分隔的竖向土 条组成。由于滑动面是人为假定的,我们只有通 过系统地求出一系列滑面发生滑动时的破坏荷载, 其中最小的破坏荷载要求的极限荷载与之相应的 滑动面就是可能存在的最危险滑动面。 条分法的基本假定如下:  把滑动土体竖向分为n个土条,在其中任取1条 记为i,如图2.1所示,在该土条上作用的已知力有: 土条本身重力Wi,水平作用力Qi(如地震产生的水 平惯性力等),作用于土条两侧的孔隙水压力Ui及 Ui+1,作用于土条底部的孔隙水压力Udi。土条上 的力矢多边形如图2.2所示。当滑面形状确定后, 土条的有关几何尺寸也可确定,如底部坡角ai, 底弧长li,滑面上的土体强度,也已确定。要使整 个土体达到力的平衡,其未知力还有:每一土条 底部的有效法向反力,共n个;两相邻土条分界面 上的法向条间力Ei,共n-1个,切向条间力Xi,共 n-1个;两相邻土条间力Xi及Ei合力作用点位置Zi, 共n-1个;每一土条底部切力Ti及法向力Ni的合力 作用点位置ai,共n个。另外,滑体的安全系数Fs, l个。 综合上述分析,我们得到共计有5n-2个未知量, 我们能得到的只有各土条水平向及垂直向力的平衡以 及土条的力矩平衡共计3n个方程。因此,边坡的稳定 分析实际上是一个求解高次超静定问题。如果土条比 较薄(bi较小),Ti与Ni的合力作用点可近似认为在土 条底部的中点,ai变为已知,未知量变为4n-2个。与 已有的方程数相比,还有n-2个未知量无法求出,要 使问题有唯一解就必须建立新的条件方程。解决的途 径有两个:一个是利用变形协调条件,引进土体的应 力~应变关系,另一个是作出各种简化假定以减少未 知量或增加方程数。前者会使问题变得异常复杂,工 程界基本上不采用,后者采用不同的假定和简化,而 导出不同的方法。 假定n-1个Xi值,更简单地假定所有Xi=0,这就是 常用的毕肖普方法。  假定Xi与Ei的交角或条间力合力的方向,而有 斯宾塞(Spencer.E)法,摩根斯坦-普赖斯法 ( ( Morgenstem—N.R,Price.V.E)、沙尔玛法 Sarma.S.K.)以及不平衡推力传递法。   假定条间力合力的作用点位置,简布(N.Janbu) 提出普遍条分法。 考虑土条间力的作用,可以使稳定安全系数得 到提高,但有两点必须注意:一是在土条分界面 上不能违反土体破坏准则,即切向条间力得出的 平均剪应力应小于分界面土体的平均抗剪强度; 二是不允许土条间出现拉应力,如果这两点不能 满足,就必须修改原来的假定,或采用别的计算 办法。 研究表明[1],为减少未知量所作的各种假设, 在满足合理性要求的条件下,求出的安全系数差 别都不大。因此,从工程实用观点来看,在计算 方法中无论采用何种假定,并不影响最后求得的 稳定安全系数值。我们进行边坡稳定分析的目的, 就是要找出所有既满足静力平衡条件,同时又满 足合理性要求的安全系数解集。从工程实用角度 看,就是找寻安全系数解集中最小的安全系数, 这相当于这个解集的一个点,这个点就是边坡稳 定安全系数。  需要说明的是,采用极限平衡法来分析边坡 稳定,由于没有考虑土体土身的应力-应变关系 和实际工作状态,所求出土条之间的内力或土条 底部的反力均不能代表边坡在实际工作条件下真 正的内力和反力,更不能求出变形。我们只是利 用这种通过人为假定的虚拟状态来求出安全系数 而已。由于在求解中做了许多假定,不同的假定 求出的结果是不相同的,但由于极限平衡法长期 在工程中应用,各行业应用不同的方法,都积累 了大量的经验,工程界就用这种虚拟状态,来近 似模拟实际工作状态,再加上工程经验从而作出 工程设计判断。 为了克服极限平衡法的不足,人们提出了以有 限元法为代表的各种数值计算方法。有限元法, 是将边坡体离散成有限个单元体,或者说,用有 限个单体所构成的离散化结构代替原来的连续体 结构,通过分析单元体的应力和变形来分析整个 边坡的稳定。与极限平衡法所不同的是,数值计 算是以弹性(塑性)理论为基础,需要首先弄清楚 岩土体的本构关系,即应力-应变关系,它既要 求出单元体的力的平衡,也要考虑单元体的变形 协调,同时还要考虑岩土体的破坏准则。由于岩 土体应力-应变关系是非线性的,它使边坡的数 值计算变得十分复杂。数值计算发展到今天,由 于计算机的普及和大量应用,复杂而又精细的计 算方法已不再是数值计算的障碍了,而计算成果 的优劣取决于岩土体的主要构造和有关参数的获 得情况。 § 2.2瑞典圆弧法(Ordinary or Swedish Method) § 2.2.1基本假定 瑞典圆弧法又简称为瑞典法或费伦纽斯法,它是极限  平衡方法中最早而又最简单的方法,其基本假定如下: 1)假定土坡稳定属平面应变问题,即可取其某一横剖 面为代表进行分析计算。 2)假定滑裂面为圆柱面,即在横剖面上滑裂面为圆弧; ( ( 弧面上的滑动土体视为刚体,即计算中不考虑滑动土体 内部的相互作用力(Ei,Xi不考虑)。 (3)定义安全系数为滑裂面上所能提供的抗滑力矩之和 与外荷载及滑动土体在滑裂面上所产生的滑动力矩和之 比;所有力矩都以圆心O为矩心。 ( 4)采用条分法进行计算。 § 2.2.2计算公式 图2.3表示一均质土坡,土条高为hi,宽为bi, Wi为土条本身的自重力,Ni为土条底部的总法向 反力,Ti为土条底部(滑裂面)上总的切向阻力;土 条底部坡角为ai;长为li,坡体容重为γi,R为滑裂 面圆弧半径,AB为滑裂圆弧面,xi为土条中心线 到圆心O的水平距离。 根据摩尔一库仑准则,滑裂面AB上的平均抗 剪强度为 τ = c + (σ −u)tgϕ′ ′ (2.2) f 式中:σ——法向总应力; u——孔隙应力; , ϕ′ ——坡体有效抗剪强度指标。 c′  如果整个滑裂面AB上的平均安全系数为Fs,按照式 (2.1)定义,土条底部的切向阻力Ti为 τ 1 f Ti =τli = l = [ci′ + (Ni −ui )tgϕ ]l ′ i i i F F ( 2.3) S S 取土条底部法线方向力的平衡,可得 Ni =Wi cosα = γibihi cosαi ( 2.4) 取所有土条对圆心的力矩平衡,有 ΣWi xi − ΣTi Ri = 0 ( 2.5) 如图所示,根据几何关系 将式(2.3)、(2.4)代入式(2.5),整理后有 Fs = Σ[ci′li + (Wi cosαi −uili )tgϕi′] ΣW sinα ( 2.6) i i 计算时土条厚度均取单宽,即有,因此式(2.6)可写为 2 Fs = Σ ci′ +γihi cos α −ui bi secαitgϕi′ ( 2.7) Σγihibi sinαi 式(2.6)或式(2.7)就是瑞典法土坡稳定计算公式,它也 可以从第(3)条假定中直接导出。 hwi §  2.2.3渗流影响 当土坡内部有地下水渗流作用时,滑动土体中存在渗透压 力。边坡稳定分析计算时应考虑地下水渗透压力的影响。  同样,在滑动坡体中任取一竖向土条i,如图2.4所示,如果 将土条和土条中的水体一起作为脱离体时,此时土条重力就 包括土条和土条中的水体重力,即 ( 2.8) Wi = (γ h1i +γ h b ) m 2i i γ 式中: ——土的湿容重; γ m——土的饱和容重(包括了土体和水体)。  土条的两侧和底部都作用有渗透水压力,在稳定的情况下, 土体均已固结,由附加荷载引起的孔隙应力均已消散,土条 底部的孔隙应力也就是渗透水压力。设土条底部中点处的渗 透水水头hw(一般根据流网确定),则有 ui = γwhwj ——水的容重。 一般地,bi较小,即土条取得很薄,地下水面与滑裂面接 近平行,土条两侧的渗透水压力几乎相等,可认为相互抵消, 这也是为了计算的简化。 ( 2.9) γ 式中:  w 将式(2.8)和式(2.9)代入式(2.7),有 2 Fs = Σb c′ + (γ h +γ h )cos α −γ h secαitgϕi′ i i 1i m 2i w wi   ( 2.10) Σbi (γ h1i +γmh2i )secαi  §2.2.4稳定计算分析 设计计算时,滑裂面是任意给定的,即前述的虚 拟工作状态。因此,需要对各种可能的滑裂面均进行 计算,从中找出安全系数最小的滑裂面,即认为是存 在潜在滑动最危险的(或最有可能的)滑裂面。这种计 算工作量是相当大的,特别是当边坡外形和土层分布 都比较复杂时,寻找最危险滑裂面位置相当困难。以 前,在计算手段有限的情况下,许多学者在寻找最危 险滑裂面位置方面作了很大努力,通过各种途径探索 最危险滑弧位置的规律,制作图表、曲线,或将某类 边坡归类分别总结出滑弧圆心的初始位置,以减少试 算工作量并尽可能找到最危险滑裂面。在今天,由于 计算机的普遍采用,这些问题已经变得并不那么重要 了。我们可充分利用计算机及编制相应的程序,而使 这种计算变得异常简单。 用计算机编程计算边坡稳定时,我们先在坡顶 上方根据边坡特点或工程经验,先设定一个各种 可能产生的圆弧滑裂面的圆心范围,画成正交网 格,网格长可根据精度要求而定,网格交点即为 可能的圆弧滑裂面的圆心,如图2.5所示。对每个 网结点,分别取不同的半径用式(2.7)或式(2.10)进 行计算,得到该圆心点的最危险滑裂面(Fs最小对 应的滑裂面)。比较全部网结点(不同的圆心位置) 的Fs值,最小的Fs值对应的圆心和圆弧即为所求 的边坡最危险滑裂面。为了更精确的计算,可将 该圆心为原点,再细分小区域网络,按前述方法 再进行计算,类似可找出该小区域网络中最小的 Fs。 § 2.3 Bishop条分法 § 2.3.1基本假定和计算公式  毕肖普考虑了土条间力的作用,如图2.6所示,Ei 及Xi分别表示土条间的法向和切向条间作用力,Wi 为土条自重力,Qi为土条的水平作用力,Ni、Ti分别 为土条底的总法向力和切向力,ei为土条水平力Qi的 作用点到圆心的垂直距离,图中其余符号意义同前。  分析土条i的作用力,根据竖向力平衡条件,有 Wi + Xi − Xi+1 −Ti sinαi − Ni cosαi = 0 从而得 Ni cosαi =Wi + Xi − Xi+1 −Ti sinα(i 2.11)  将前述的安全系数定义和摩尔-库仑准则,即式(2.3) 代入式(2.11),整理后有  c′li sinαi + uilitgϕi′sinαi  Ni = Wi + Xi − Xi+1 − ζi (2.12)   Fs Fs  式中:  1 ζi =  cosα + tgϕi′sinαi    (2.13)   i Fs  根据各土条力对圆心的力矩平衡条件,即所有土 条的作用力对圆心点的力矩之和为零,此时土条 问的作用力将相互抵消,从而有 ΣWi xi − ΣTi R + ΣQiei = 0 ( 2.14)  将式(2.3)、(2.12)代入式(2.14),得 ′ ′  (2.15) Fs = Σζi c b + (Wi −uibi + Xi − Xi+1 )tgϕ  ΣWi sinαi + ΣQi R i i i  ei  式(2.15)中有3个未知量;Fs和Xi、Xi+1,要么补 充新的条件,要么做一些简化消除两个未知量, 问题才得有解。毕肖普采用了假定各土条之间的 切向条间力Xi和Xi+1,略去不计的方法,即假定 条间力的合力为水平力,这样,式(2.15)简化为 ′ ′  Fs = Σ c b + (Wi −uibi )tgϕ ζi i i i  ( 2.16) ei ΣWi sinαi + ΣQi R ζi § 2.3.2稳定计算方法 式(2.16)为使用相当普遍的简化毕肖普法。注 意,在该表达式中,Fs待求,等式右边的中间参 数中含有Fs,只能采用试算或迭代计算的方法求 出Fs。在迭代计算时,一般可先假定Fs=1(或预先 估计一个接近于l的数),求出ζi,代入右边计算出 新的Fs,再用此Fs求出及另一新的Fs,如此反复 计算,直至前后相邻两次算出的Fs非常接近(或满 足预先设定的精度要求)时为止。在毕肖普法的迭 代计算中,每次迭代所求的是同一个滑面的Fs值, c′、t、gϕ、′ 、bi、、W、u、 Q e α i R i i i i i 所以每次计算中,各土条的 等均为定值,在式(2.16)中的分母和分子中除以ζi 外的各项一次算后就不再变动,因此,这种迭代 计算通常收敛很快。根据经验,一般迭代3~4次 即可满足精度要求。 § 2.3.3注意问题 毕肖普法迭代计算时要注意两点:  (1)毕肖普法适用于任意形状的滑裂面,尽管我 们的推导是从圆弧面开始的。土条的滑面倾角ai 有正负之分,当滑面倾向与滑动方向一致时,ai 为正;当滑面倾向与滑动方向相反时,ai为负。 由式(2.13)可知,当ai为负时,有可能使式(2.13)分 母趋近于零,从而使ζi趋近于无穷大,亦即Ni趋 近于无穷大,这显然是不合理的。此时,毕肖普 法就不能用。这是因为毕肖普法在计算中略去了 Xi的影响,又要令各土条维持极限平衡,前后并 不完全一致,根据某些学者的意见,当任一土条 的ζi >5时,就会使求出的Fs值产生较大误差,此 时应考虑Xi的影响或采用别的计算方法。 ( 2)由于毕肖普法计入了土条间作用力的影响, 多数情况下求得的Fs值较瑞典法为大,一般来说, 瑞典法简单,但偏于安全;毕肖普法较接近实际, 求得的Fs值较高,似可节省工程造价。两种方法 的设计计算国内外都积累了大量经验,在设计准 则及安全系数的确定上两者是有差别的,设计时 应注意计算方法和相应的设计准则的一致,更不 可张冠李戴。 § 2.4 Janbu条分法 § 2.4.1基本假定 简布(Janbu)法又称普遍条分法,它适用于任意 形状的滑裂面。如图2.7所示土坡滑动的一般情况, 坡面是任意的,坡面上作用有各种荷载,在坡体 的两侧作用有侧向推力Ea和Eb,剪力Ta和Tb,滑 裂面也是任意的。土条间作用力的合力作用点连 线称为推力线。在土坡断面中任取一土条,其上 作用有集中荷载△P,△Q及均布荷载q,△Wr为 土条自重力,土条两侧作用有土条条间力E、T及 E+△E,T+△T,滑裂面上的作用力△S和△N。 如图2.8所示。 为了求出一般情况下土坡稳定安全系数以及滑 裂面上的应力分布,简布做了如下假定: ( ( 1)假定边坡稳定为平面应变问题。 2)假定整个滑裂面上的稳定安全系数是一样的, 可用式(2.1)表达。 ( 3)假定土条上所有垂直荷载的合力△W: △ △ Wr+q△x+△P,其作用线和滑裂面的交点与 N的作用点为同一点。 ( 4)假定已知推力线的位置,即简单地假定土条 侧面推力成直线分布,如果坡面有超载,侧自推 力成梯形分布,推力线应通过梯形的形心;如果 无超载,推力线应选在土条下三分点附近,对非 粘性土(c′=0)可在三分点处,对粘性土(c′>0),可 选在三分点以上(被动情况)或选在三分点以下(主 动情况)。 § 2.4.2计算公式  根据以上假定和图2.8,单位土条上作用的总垂直 荷载为 p = ∆∆ = γ Z + q + ω x ∆p ∆x ( 2.17) 式中: γ ——土的容重; z——土条高度; q——土条顶部的均布荷载; 其余符号见前述。  根据力及力矩平衡条件,对每一土条,有 τ 1 f (2.18) τ = = [c′+ (σ −u)tgϕ] F F s s ΣY = 0:σ = p + t −τtgα ΣZ = 0: ∆E = ∆Q + ( p + t)∆xtgα −τ∆x(1+ tg α) ( 2.19) 2 2 ΣZ = 0: ∆E = ∆Q + ( p + t)∆xtgα −τ∆x(1+ tg α)( 2.20) ΣM = 0ꢀT = Etgαt + ht dE − ZQ dQ ( 2.21) dx dx 式中:u——滑裂面上的孔隙压力; t = t——中间变量, 其余符号意义见前述及图2.8所示。 ∆T ∆x 对整个边坡滑动土体,总水平力平衡,有 将其代入式(2.20),有 将式(2.18)代入上式,有 2 Στ f ∆x(1+ tg α) ( 2.23) Fs = Ea − Eb + Σ[∆Q + ( p + t)∆xtgα ] τ   f τ f = c′+ ( p + t −u) − tgα tgφ′ (2.24)     F S 式(2.23)两边均含有Fs项,须用迭代法计算。 由式(2.24)得 τ f = c′+ ( p + t −u)tgϕ′ 1 + tgαtgϕ′/ FS ( 2.25) 2 M =τ f ∆x(1+ tg α) 令 (2.26) (2.27) N = ∆Q + ( p + t)∆xtgα 将式(2.25)代入式(2.26),并令 M ′ = c′+ ( p + t −u)tgϕ′ ∆x ( ( 2.28) 2.29) + tgαtgϕ′/ Fs ηa = 1 2 + tg α 1 M = M ′/ηα 则得到 (2.30) 可将表达式制成的关系曲线备用,将上述各中1剐参 数M、N及代入式(2.23),有 ΣM Fs = Ea − Eb + ΣN ( 2.31) 滑裂面上的剪应力r由下式求出 τ M f τ = = 2 F F (1+ tg α)∆x s s 正应力盯由下式求出 在上列各式中,T及t=△T/△x均为未知。将式(2.26)和 式(2.27)代入式(2.20),得 ( 2.33) ∆E = N − M / Fs  每一土条侧向水平力可由A点开始(见图2.7),从上往 下逐条推求,即 E = Ea + Σ∆E (2.34)  求出E以后,T即可由式(2.21)求得,当土条两侧的T 均已知时,该土条的△T及t也就容易求出。但因为 求M、N的计算式中均含有t项,所以t无法直接解出, 也必须采用迭代法来计算。 § 2.4.3王复来改进条分法 根据土压力的特点,如果假定土条的水平土压力 呈三角形分布,则其合力作用点在界面高度的下三 分点处,这就是王复来的改进条分法。任取一土条 进行分析,根据力的平衡条件导出基本方程组: ∆ 2 x ∆x 2 ∆xi 2 2.38)    i (Ti +Ti+1) + Ei (Zi − tgαi ) − Ei+1 Zi+1 − Zi + ∆xitgαi + Zi − tgαi    ( ꢀ ꢀꢀꢀꢀꢀ− ∆QiZQi −Wid1 − Nid2 secαi = 0 Si = + (Ni −Ui ) tgϕ′ C l i i F Fs s ( 2.39) 对上述基本方程进行整理代换后有 Ei = c′+ ( pi + ti −ui )tgϕi′ 2 ∆ ∆xi (1+ tg α) − ( pi + ti )∆xitgαi − ∆Qi Fs + tgαitgϕi′ ( 2.40)  当土条宽度足够小时,认为△xi、△Ti、△Ei均趋 于零,再忽略二次微量,则有 Z h i i Ti+1 = Ei (tgαi − ) + Ei+1 Zi+1 ∆Q ZQi ∆x ∆xi (2.41 ∆ x i 将式(2.41)代入式(2.40),整理后有 1 Z sec αitgϕi′ −tgαi ) i+1 − ( ∆ x F + tgα tgϕ′ i s Ei+1 = 2 1 i 2  ∆xi sec αi  Ei +[c′+ ( p −u)tgϕi′] Fs + tgαitgϕ′ − ∆Qi − p∆xitgαi −     ꢀ ꢀꢀ   2  Z ∆Q  tgϕi′i (1+ tg α)    i i   Ei + (∆ −tgαi ) − ZQi +Tn −tgαi     Fs + tgαitgϕ′  x ∆x i   (  2.42)   安全系数公式同式(2.23)。如果土坡两端无外力,即Ea、 Eb、Ta、Tb均为零,土坡共划分为n个土条,则有: n 2 [ci′∆xi + ( p∆xi + ∆Ti −u∆xi )tgϕi′]sec αi /(1+ tgαi ) ∑ i−1 ( 2.43) Fs = n ∆ Q + ( p∆xi + ∆Ti )tgα [ 算法 i ]  计算时仍采用试i=1 ∑ i 或迭代法。 迭代法步骤要比Janbu法简单一些。先假设Fs0, 根据边界条件E1=0,Tl=0,由式(2.42)、式(2.41) 从下往上逐条推求侧向推力直至n-1号土条,分别 求出E2,T2,E3,T3,…,En,Tn;再根据 Tn+1=0的条件,算出各土条的△Tl,△T2,…, △ Tm。,用假设的Fs0及△Tl,△T2,…,△TN 代入式(2.43)算得Fs的第一次近似值Fs1比较Fs1和 Fs0,看是否满足精度要求。如不满足,则以Fs1 当作Fs0,重复上述步骤的计算,直到前后两次的 Fs值满足精度要求时为止。 § 2.5不平衡推力传递系数法 在滑体中取第i块土条,如图2.9所示,假定第 i-1块土条传来的推力Pi-1的方向平于第I-1块土条 的底滑面,而第i块土条传送给第i+1块土条的推力 Pi平行于第i块土条的底滑面。即是说,假定每一 分界上推力的方向平行于上一土条的底滑面,第i 块土条承受的各种作用力示于图2.9中。将各作用 力投影到底滑面上,其平衡方程如下: ( 2.44) ′  (Wi cosαi −uili + Qi sinαi )tgϕ   cili i Pi = (Wi sinαi + Qi cosαi ) − + + Pi−1Ψi−1    Fs Fs 式中: (2.45) ′ ϕ F i Ψi−1 = cos(αi−1 −αi ) − sin(αi−1 −α i ) s 式(2.44)中第1项表示本土条的下滑力,第2项表示土 条的抗滑力,第3项表示上一土条传下来的不平衡 下滑力的影响,称为传递系数。在进行计算分析时, 需利用式(2.44)进行试算。 即假定一个Fs值,从边坡顶部第1块土条算起 求出它的不平衡下滑力P1(求P1时,式中右端第3 项为零),即为第l和第2块土条之间的推力。再计 算第2块土条在原有荷载和P1作用下的不平衡下滑 力P2,作为第2块土条与第3块土条之间的推力。 依此计算到第n块(最后一块),如果该块土条在原 有荷载及推力Pn-1作用下,求得的推力Pn刚好为 零,则所设的Fs即为所求的安全系数。如Pn不为 零,则重新设定Fs值,按上述步骤重新计算,直 到满足Pn=0的条件为止。一般可取3个Fs同时试算, 求出对应的3个Pn值,作出Pn~Fs曲线,从曲线上 找出Pn=0时的Fs值,该Fs值即为所求。 为了使计算工作更加简化,在工程单位常采用快捷的 简化方法:即对每一块土条用下式计算不平衡下滑 力: 不平衡下滑力=下滑力×Fs-抗滑力 由此,式(2.44)可改写为: ′ ′  (2.46) Pi = Fs (Wi sinαi + Qi cosαi ) − c l + (Wi cosαi −Qi sinαi −uili )tgϕ  + Pi−1Ψi−1 i i i  上式中,传递系数改用下式计算 Ψi−1 = cos(αi−1 −αi ) −tgϕi′sin(αi−1 −αi ) ( 求解Fs的条件仍是Pn=0。由此可得出一个含Fs的 一次方程,故可以直接算出Fs而不用试算。 2.47)   如果采用总应力法,式(2.46)中可略去Uili项,c、 φ值可根据土的性质及当地经验,采用勘测试验和滑 坡反算相结合的方法来确定。Fs值可根据滑坡现状及 其对工程的影响等因素确定,一般取l.05~1.25。另 外,要注意土条之间不能承受拉力,当任何土条的 推力Pi如果出现负值,则意味着Pi不再向下传递,而 在计算下一块土条时,上一块土条对其的推力取Pi- 1 =0。  各土条分界面上的Pi求出后,可求出此分界面上 的抗剪安全系数: 1 ′ ′ Fvi = [c h + (Pi cosαi +UPi )tgϕ ] ( 2.48) i i i Pi sinαi 式中:UPj——作用土条侧面的孔隙水压力; hi——土条侧面高度; ci′、ϕi′ — —土条侧面各土层的平均抗剪强度 指标。 传递系数法能够计算土条界面上剪力的影响, 计算也不繁杂,具有适用而又方便的优点,在我 国的铁道部门得到广泛采用。但传递系数法中Pi 的方向被硬性规定为与上分块土条的底滑面(底坡) 平行,所以有时会出现矛盾,当α较大时,求出的 Fvi可能小于l。同时,本法只考虑了力的平衡,对 力矩平衡没有考虑,这也存在不足。尽管如此, 传递系数法因为计算简捷,在很多实际工程问题 中,大部分滑裂面都较为平缓,对应垂直分界面 上的c、φ值也相对较大,基本上能满足式(2.48)的 要求。即使滑体顶部一、二块土条可能满足不了 式(2.48)的要求,但也不致对Fs产生很大影响。所 以,该方法还是为广大工程技术人员所乐于采用。 § 2.6边坡稳定分析有限元法 § 2.6.1有限元法概述 有限元法的突出优点是适于处理非线性、非均质 和复杂边界等问题,而土体应力变形分析就恰恰存在 这些困难问题,有限元方法的应用,能比较好的解决 这些困难,在处理边坡稳定分析中开辟了新的途径。 有限元法就是用有限个单元体所构成的离散化结 构代替原来的连续体结构来分析土体的应力和变形, 这些单元体只在结点处有力的联系。一般材料应力- 应变关系或本构关系可表示为 ( 2.49) {σ} = [D]{ε} 由虚位移原理可建立单元体的结点力与结点位移 之间的关系,进而写出总体平衡方程 [K]{δ} = {R} ( 2.50) 式中:[K]——劲度矩阵; { { δ}——结点位移列向量; R}——结点荷载列向量。 利用有限单元法,可考虑土的非线性应力一应变 关系,求得每一个计算单元的应力及变形后,便可 根据不同强度指标确定破坏区的位置及破坏范围的 扩展情况。若设法将局部破坏与整体破坏联系起来, 求得合适的临界滑面位置,再根据力的平衡关系推 得安全系数,这样,就能将稳定问题与应力分析结 合起来。或者求出在各种工作状态下边坡内部的应 力分布状况,由边坡土的性质确定一个破坏标准, 以此来衡量边坡的安全程度。 土体的应力-应变关系是非线性的,反映到式 ( 2.49)中,矩阵[D]就不是常量,而随着应力或应变的 变化,由此推得的劲度矩阵[K]也将发生变化,使得 土坡有限元的计算比一般弹性有限元计算要复杂。   影响土体应力-应变关系的因素是很多的,有土体 结构,孔隙、密度、应力历史、荷载特征、孔隙水及 时间效应等。这些因素使得土体在受力后的行为非常 复杂,而且往往是非线性的。 土体在应力作用下产生的变形一般是非线性的, 在各种应力状态下都有塑性变形;土体在受力后有明 显的塑性体积变形,而且在剪切时也会引起塑性体积 变形(剪胀性);土体受剪时发生剪应变,其中一部分 为弹性剪应变,另一部分与土颗粒间相对错动滑移而 产生塑性剪应变,剪应力引起剪应变,体积应力也会 引起剪应变;土体还表现出硬化和软化特性,应力路 径和应力历史对变形有影响,中主应力和固结压力对 变形也有影响,而且表现出各向异性。 § 2.6.2有限元计算成果和安全判定准则 有限元法计算获得了土坡各土体单元的应力、 应变和变位,如何根据这些计算结果来判定土坡 的稳定性,目前有以下一些安全判定准则和方法。 工程实践表明,土坡稳定和变形有着十分密切 的关系,一个土坡在发生整体稳定破坏之前,往 往伴随着相当大的变形——垂直沉降和侧向变形。 因此,有人建议根据土坡大主应变等值线图来确 定最危险滑面,或根据各单元的最大剪应变值而 勾绘的最大剪应变等值线图来确定最危险滑动面, 再辅以判定单元体破坏的应变标准来判定土坡的 稳定性。 通过有限元计算得到坡体各单元体上的应力后, 再在坡体断面图上画出试算的滑动面,利用滑动 面上力的平衡关系来计算安全系数。此时,安全 系数的计算式中的法向应力σ和切向应力τ均根据 有限元法计算的结果取值。对平面问题,按下式 计算 式中:σx,σy——单元体上x、y方向的法向应力, 以拉力为正; τxy——单元体上xy面上的剪应力; α——单元体中的滑面与水平面的夹角(近似取 滑面计算点的切线与水平面夹角)。 对于圆弧滑面,第i条土条滑动面上滑动力矩为 τiliRi,而抗滑力矩为 系数为 ( ) ,该圆弧滑面的安全 σ l tgϕ + c l R i i i i i FS = Σ(σilitgϕi + cili ) Στili 式中各符号意义同前。 为了充分利用有限元计算的结果,有人提出了 单元安全度”概念。单元安全度的定义如下:  “ F = (σ1 −σ3 )if i (σ1 −σ3 )i 式中:Fi——单元安全度系数; σ1-σ3)——第i单元计算所得的最大和最小主应力之差; ( (σ1-σ3)if——第i单元土体发生剪切破坏时最大和最小主 应力之差。 显然,如果Fi>1,表明该单元体是稳定的,Fi=1, 表明该单元体已处于极限平衡。(由于我们在有限元 计算中已考虑了土体单元达极限平衡后的应力修正 和迁移,计算结果中不含出现Fi<1的情形)。如果土 坡体内各单元体的Fi>1,土坡应是稳定的。如果 Fi=1的单元体在坡体中贯穿,则可认为在坡体中存 在极限平衡带,即潜在滑裂带或危险带。如果仅有 部分单元体满足Fi>1。则可在坡体断面图中画出Fi的 等值线图。
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